线性代数——二次型

《线性代数——二次型》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、5.1二次型的概念称为n元二次型.简称二次型。每项都是二次的多项式称为二次型（或二次齐式）例如都为实二次型；2、二次型的表示方法例1、将二次型用矩阵表示。3、二次型的矩阵及秩在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．解例24、合同变换设有一个可逆的线性变换，定义5.2.对于n阶矩阵A和B,如果存在n阶可逆矩阵C,使得B=CTAC,就称A合同于B,记作A≌B，对A进行运算称为对A进行合同变换.矩阵间的合同关系具有反身性,对称性,和传递性.定义5.3只含有平方项的二次型称为二次

2、型的标准形（或法式）．为二次型的标准形.5.2化二次型为标准型例如若标准形的系数只取1，-1，0，即称为二次型的规范形。要使二次型经可逆线性变换x=Cy化为标准形,就是要使因此，化二次型为标准形就是对于对称矩阵A寻找可逆矩阵C，使与A合同的矩阵CTAC为对角阵。1正交变换法定理5.1对于任一个n元二次型总有正交变换x=Py(P为n阶正交矩阵），使f(x1,x2,…,xn)化为标准形常见的化二次型为标准形的方法其中λ1,λ2，…λn是实对称矩阵A的特征值，P的n个列向量p1,p2,…pn是A的对应于特征值λ1,λ2，…λn的两两正交的单位特征向量.推论5.1对于任一个n元二次型总有可逆线性变

3、换x=Cz，使f(Cz)为规范形。用正交变换化二次型为标准形的具体步骤解1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值例3从而得特征值2．求特征向量3．将特征向量正交化得正交向量组4．将正交向量组单位化，得正交矩阵于是所求正交变换为2配方法例5、化二次型为标准形解：将的项归并起来，得令经过可逆线性变换将二次型化为标准型：例5、化二次型为标准形解f不含平方项，含有x1,x2的乘积项，因此先用代换产生平方项再配方，得则有令所求得可逆变换矩阵为说明：用配方的方法化二次型为标准型方法：1）、若二次型不含平方项，仅含乘积项，先引入代换产生平方项后，再配方；2）、若二次型含平方项，集中含有平方项的某一个变量所

4、有项的平方，对余下的变量同样进行配方作平方和。注：用配方法作的变换是可逆变换，但是不一定是正交变换，因此标准型中平方项前的系数不一定是特征值。化为标准型，并指出表示何种二次曲面.求一正交变换，将二次型思考题思考题解答一个实二次型，既可以通过正交变换化为标准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形，显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩．下面我们限定所用的变换为实变换，来研究二次型的标准形所具有的性质．5.3正定二次型1、惯性定理2、正(负)定二次型的概念例如为正定二次型为负定二次型证明充分性故3、正(负)定二次型的判别必要性故推论　对称矩阵为正定

5、的充分必要条件是：的特征值全为正．证毕.例5判别二次型是否正定.解二次型的矩阵为用特征值判别法.故此二次型为正定二次型.即知是正定矩阵，这个定理称为霍尔维茨定理．定理3对称矩阵为正定的充分必要条件是：的各阶主子式为正，即对称矩阵为负定的充分必要条件是：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正，即正定矩阵具有以下一些简单性质例6判别二次型是否正定.解它的顺序主子式故上述二次型是正定的.例7判别二次型的正定性.解2.正定二次型（正定矩阵）的判别方法：(1)定义法；(2)顺次主子式判别法；(3)特征值判别法.四、小结1.正定二次型的概念，正定二次型与正定矩阵的区别与联系．3.根据正定二次型的判别方法

6、，可以得到负定二次型（负定矩阵）相应的判别方法，请大家自己推导．思考题思考题解答