线性代数二次型的标准型

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1、第二节　二次型的标准形二矩阵的合同一标准形的概念三标准形的求法定义若二次型的形式，称为二次型的标准形（法式）．定义若能进一步经过非退化线性变换将标准形化为的形式，称为二次型的规范形．一、二次型的标准形经过非退化线性变换X=PY化为平方和注：二次型的标准形（规范形）对角阵与标准形对应的对角阵：与规范形对应的对角阵：无论是标准形还是规范形都具有非常简单的形式。问题：①任一二次型能否经过非退化线性变换化为标准形？②若可以，如何化为标准形？定理：数域F上的任一二次型f=XTAX都可以经过非退化的对任意的对称矩阵A，存在可逆矩阵P,使得线性变换X=PY化为标准形。上述定理

2、可等价的描述为：二、矩阵的合同定义：设A、B均为n阶方阵，若存在可逆矩阵P，使得则称A与B合同，记作：问题一：二次型能否化成标准形？合同具有如下性质：注：矩阵的合同其实是一种特殊的等价。①反身性②对称性③传递性④合同矩阵具有相同的秩.⑤与对称矩阵合同的矩阵也是对称矩阵.等价注：矩阵合同与矩阵相似是两个不同的概念矩阵合同：矩阵相似：则存在可逆矩阵注：矩阵合同与矩阵相似是两个不同的概念定理：任意一个对称矩阵必合同于一对角阵。使得A与B合同；但A与B不相似（因为它们不均有相同的特征值）。问题二：如何化二次型为标准形？三种方法：①Lagrange配方法②行列对称初等变化法③

3、正交变换法-----本章重点思想：利用代数公式将二次型配成完全平方式的形式例：用配方法化二次型为标准形解：①Lagrange配方法思想：由定理可知，任一对称矩阵A必合同于一对角阵，其中r(A)=r，进一步则有又因P可逆，则P一定可以表示有限个初等矩阵的乘积，②行列对称初等变化法即：注：①初等矩阵与其转置的对应关系②上式表明在对A做一次行初等变换的同时，必须做一次完全一样的列初等变换（行列对称）例：用行列对称初等变换法化二次型为标准形注：对称矩阵每施行一次行列对称初等变换仍是对称矩阵