线性代数二次形及其标准型

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1、§5.2二次型及其标准形一、二次型的矩阵表示1、二次型定义1.n个变量的二次齐次函数2、二次型的矩阵表示法令其中A是一个n阶对称矩阵称为二次型的矩阵表达形式A称为二次型的矩阵，A的秩称为二次型的秩.说明：（1）二次型的矩阵都是对称矩阵；（2）二次型和它的矩阵是相互唯一决定的（一一对应）；写出它的矩阵表达式。例1：解：例2解020½½½½注1、变量的线性变换定义5.2关系式令则线性变换的矩阵形式为x=Cy二.二次型的标准形.说明为满秩（或可逆）的线性变换，此时（1）如果系数矩阵C可逆，即

2、C

3、0，则称线性变换x=Cy（2）如果系数矩阵C为正交矩阵.

4、则称线性变换x=Cy为正交变换.定义5.3此形称为f的标准形.标准形矩阵为对角矩阵（后面举例说明）注：二次型研究的主要问题是：寻找满秩线性变换，化二次型为标准形所以经满秩线性变换后，新旧二次型的矩阵的关系：因为有定理5.13、矩阵的合同合同是等价关系，具有反身性、对称性、传递性。因此二次型经过满秩线性变换后，所得到的二次型矩阵B与原二次型矩阵A是合同的.定义5.4§5.3、化二次型为标准形定理5.2一、用正交变换化二次型为标准形证明：对于实对称矩阵A，存在正交矩阵Q，使令正交变换x=Qy，在此变换下例4解二次型矩阵A的特征多项式A的特征值为把1=

5、1（2重）代入齐次方程组，得基础解系为将它们正交化，得再单位化，得把2=10代入齐次方程组，得基础解系为单位化，得正交矩阵则令正交变换X=QY，则（注）：正交变换化二次形为标准形具有保持几何图形不变的特点，使其易于识别。（二）用满秩线性变换化二次型为标准形——配方法例2解把含有x1各项集中在一起把含有x1各项配完全平方把含有x2各项集中在一起，再配平方令显然则标准形为验证例3解令有构造平方项令则这两次线性变换的结果相当于作一个总的线性变换：显然即其中2、令这样计算对吗？正确的做法应该是什么？（三）初等变换化二次型为标准形即用初等变换把二次型

6、矩阵化为对角矩阵，为保持所得矩阵与原矩阵合同，必须成对地施行行初等变换与列初等变换，即作一次初等列变换后必须作一次相同的行变换.例：初等变换化二次型为标准形，并写出相应的满秩线性变换.BC注意不是I标准形是不唯一的，与所作的满秩线性变换有关，而系数不为0的平方项的个数由二次形的秩决定，所以是唯一的，与所作的满秩线性变换无关.例如四.惯性定理定理5.4（惯性定理）一个二次型的任意两个标准形中的正系数的个数与负系数的个数分别相等.定义：在二次型的标准形中，正系数的个数P（唯一确定）称为二次型的正惯性指数，负系数的个数N（唯一确定）称为负惯性指数，P

7、+N=r.它们之差s=P-N称为符号差。定理5.5任意二次型f均可经满秩线性变换化为二次型f的规范形§5.4、二次型与对称矩阵的有定性1、定义5.5例1正定例2所以是半负定.例3是不定.2、实二次型（实对称矩阵A）正定的判别方法：（1）、下列条件都是实二次型f(x1,x2,…xn)=XTAX正定的充分必要条件：正惯性指数为n.A的所有顺序主子式全大于零.A的特征值全大于零.A与单位矩阵In合同.存在正交矩阵Q，使例4解22-4-4-2-2它的顺序主子式为=1>0=1>0所以f正定.（1）（2）令经过这个非退化的线性变换，二次型化为因此该

8、二次型的正惯性指标为2，从而该二次型不是正定的.例5解解不等式组（2）、正定矩阵的性质：A是正定矩阵，若A~B，则B也是正定矩阵.A正定

9、A

10、>0，即A可逆.A正定kA(k>0)，AT，A–1，A*也是正定矩阵.A正定A的主对角线上的元素ajj>0.证明：A正定A*也是正定矩阵.证方法一设A的特征值为且

11、A

12、>0，并且A*的特征值为：即A*的全部特征值都大于零，所以A*也是正定矩阵.方法二由A正定知，

13、A

14、>0，且存在可逆矩阵C，使于是其中且P为可逆矩阵，所以A*也是正定矩阵.例6设A是n阶正定矩阵，I是n阶单位矩阵，证明

15、A+

16、I

17、>1.设A的特征值为证则A+I的特征值分别为从而也可证明A+I正定例7证代入已知等式，得因为故满足得因为A为实对称矩阵，其特征值一定为实数，故只有=1，即A的全部特征值都大于零，因此A是正定矩阵.n阶可逆矩阵A与I等价。只有单位矩阵In与In相似。只有正定矩阵与单位矩阵合同。1、设A和B为n阶矩阵，则（）成立（1）、A~BA和B等价；（2）、A和B等价A~B；（3）、A~BA和B等价；（4）、A和B等价A~B；（5）、A~BA~B；（6）、A~BA~B；1,32、设A和B为实n阶对称矩阵，则（）成立（a）、A~BA~B；（b）

18、、A~BA~B；bn阶实数矩阵A，如果ATA=I，称A为正交矩阵.都是实对称矩阵，但A,B不相似此时A与B虽合同，但特征