高等数学第四单元不定积分

《高等数学第四单元不定积分》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、第四单元不定积分4-1不定积分的概念与性质换元积分法［教学基本要求］高等数学理解原函数与不定积分的概念、性质以及积分与导数(微分)的关系。熟记不定积分的基本公式，掌握不定积分的换元积分法和分部积分法。会求简单的有理函数的积分。微积分理解原函数与不定积分的概念、性质以及积分与导数(微分)的关系。熟记不定积分的基本公式，掌握不定积分的换元积分法和分部积分法。［知识要点］1.原函数与不定积分的概念若F,(x)=/(x),则称F(x)是/(兀)的一个原函数.若F(x)是/(兀)的一个原函数，则./*(对的原函数的一般表达式为F(x)+C(C为任意常数)../

2、*(*)的原函数的一般表达式F(x)+C称为/(对的不定积分，记为［f(x)dx,即f/(x)dx=F(x)+C.注意①不定积分和原函数是两个不同概念，前者是集合，后者是该集合中的一个元素，因此Jf(x)dxHF(x).②设F(x),G(x)均是f(x)在区间/中的原函数，则F(x)=G(x)+C.2.基本性质(1)j［A:,f(x)4-k2g(x)］dx=kJf(x)dx+k2lg(x)dx(/，爲是不为零的常数).(2)=/(x)或〃(］*/(工)必)=/(兀)必；(3)

3、Fz(x)rfx=F(x)+C或JrfF(x)=F(x)+C.(C是任意常

4、数)3.基本积分公式(略)4.积分方法(1)分项积分法：『［氐］/(工)+氐2&(兀)］必=/(x)rfx+Zr2Jg(x)dx(ki9k2为常数).分项积分法的依据是不定积分的线性性质，其作用在于将复杂函数的积分转化为简单的函数的积分.(2)第一换元积分法(凑微分法)若Jf(u)dx=F(zz)+C,且(px)连续，则J/(0(兀))卩’(兀)必=F(讽兀))+C・基木思路：Jf((p(x))(px)dx=j/(卩(兀))d°(兀)令《=(p(x)Jf(x)dx=F(u)+Cu=卩(兀)F(y(兀))+C.常见的12种凑微分形式(1)(2)(3

5、)”(ex)exdx=jf(ex)d(ex)j/(ar+b)dx=丄Jf(ax+b)d(ax+b)Jf(axn+b)xn~xdx=—jf(ax"+b)d(ax"+b)(4)(5)(6)J/(仮)£=(仮)(7)J/(sinx)cosxdx=J/(sinx)J(sinx)(8)jf(cosx)sinxdx=-j/(cosx)rf(cosx)(9)J/(tanx)sec2xdx=j/(tanx)J(tanx)(10)

6、f(cotX)C5C2xrfx=-j/(cotx)rf(cotx)(11)J=j/(arcsinx)rf(arcsinx)v1—X2(12

7、)j/(arctanx)^=jf(arctanx)rf(arctanx)(3)第二换元积分法若/(x)连续，x=(p(t)冇连续导数，卩'(/)工0,H.Jf(x)dx=Jf((p⑴)0⑴dt=F(/)+C，则J/(工)必=F(0“(x))+C・基本思路：Jf(x)dxx=(p(t)f((p⑴如‘⑴力20“(兀)F(卩t(x))+C第二换元法的要点在于：通过新变量的引入，使得积分的形式改变(比如去根号)而易于积“(2)密=一“(2)〃(2)J兀LJ兀兀J/(Inx)—=J/(Inx)rf(lnx)分.常见的变量代换有如下几种：（i）三角函数代换：利

8、用三角代换，变根式枳分为三角有理式积分.被积函数/（兀）含根式所作代换三角函数示总图J/-X2x=asintx=atantaXVx2-a2x=asecf丄7x2-a2（ii）倒代换（x=l/Z），也是一种很重要的变量代换，利川倒变换常可消去被积函数分母中的变量因子疋（或（兀一4）“），其中〃为正整数./(工)的所有原函数.可知命题〃正确.2xcos——sin—xHO对于命题C,町先考虑下面的例了：f(x)=

9、立.因此说F&)为/(兀)在(-1,1)内的原函数•此例表明C的说法不正确.若F(x)为/(兀)的原函数，贝畑原函数的定义可知必有Fx)=f(x).由可导与连续的关系可知，F(兀)必为连续函数.因此命题D正确.例2、选择题下列命题」E确的冇().A.Jf2x)dx=

10、/(2x)4-C;B・J厂(2工)必=/(2x)+C;C・[ff(2x)dx~f=/(2x);D.jf(2x)dx=^f(2x).解正确答案为A,C・分析：由不定积分的性质=+可知:Jf2x)dx=f2x)d(2x)=-/(2x)+C即4正确，B不正确.2［J/(2x)rf

11、xJZ表示/(2兀)下对工积分，再对兀求导，因此［J/(2x)rfxJ'=f(2x),这表明C正确，而D不正