第四单元 不定积分

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1、第四单元不定积分一、不定积分的概念、性质，基本积分表1、定义：2、性质：[或d[或（k为不等于0的常数）3、基本积分表二、第一换元法（凑微分法）1、定理：设，且φ(x)为微函数，则2、常用凑微分公式：93、关于的积分法（A、B、a、b、c为常数，a≠0）①ax2+bx+c可分解因式如则：（侍定系数法）②ax2+bx+c不能分解因式如（先配方，再利用公式）三、第二换元法1、根式替换：被积函数中含有，令根式为t，解出x及dx与t和dt的关系，化成以t为变量的积分。2、三角替换法：①含时，令x=asint或acost②含时，令x=atant或

2、acott③含时，令x=asect或acsct④含时，先对ax2+bx+c进行配方，再利用上述公式。四、分部积分法1、公式：2、几种常见类型：①取u=xn②取u=xn9③取u=lnβx④取u=arctanx⑤取u=cosβx或eαx例1问是同一个函数的原函数吗？解：所以是同一个函数的原函数。例2求（化成分指数）解：原式=例3求（分成几个积分）解：原式例4求（先将分子展开）解：原式例5求（化成部分分式）解：原式例6求1=sin2x+cos2x解：原式9例7求（利用三角恒等式）解：原式例8求（凑微分）解：原式例9求（凑微分）解：原式例10解

3、：原式例11解：原式例12求（取出一个cosx，凑成dsinx）解：原式例13求（化cosαcosβ=1/2[cos(α+β)+cos(α-β)]的和差形式）解：原式例14求（化成部分分式）解：原式（绝对值）例15求解：原式例16求（分母因式分解后化成部分分式）9解：原式例★17求（将分子改写成分母的导数形式）解：原式例18求（分母不能因式分解，配方）解：原式例19求（根式替换，取根指的最小公倍数）解：令原式xa例20求（三角替换）解：令x=asint,dx=acostdt原式例21求（根式内为二次三次项，先配方）解：令x-1=2sin

4、t,dx=2costdt92x-1原式例22求（分部积分）解：原式例23求解：原式例24求解：原式所以（积分的循环）例25求（先换元，再分部积分）解：令原式例26设F(x)为的原函数，求解：由题意知：F/(x)=，设例27设F(x)为的原函数，求解：由题意知：F/(x)=，令u=x2,则9例28已知F(x)的导数为，求F(x).解：由，知所以F(x)=例29若求f(x)（将的形式）解：例30已知，求（将已知二次求导）解：两端同时求导数得：例31设f(x)具有二阶连续导函数，求解：例32设F/(x)=f(x),f(x)为可导函数，且f(0

5、)=1,又F(x)=xf(x)+x2,求f(x).解：F(x)=xf(x)+x2，F/(x)=f(x)+xf/(x)+2x,用F/(x)=f(x)代入得：xf/(x)+2x=0，f/(x)=-2,,由f(0)=1得c=1所以f(x)=-2x+1例33设lnf(x)=cosx,求9解：=xcosx-sinx+c例34已知，求解：当x<0时，当时，当x≥1时，由原函数的连续性可知，即：，解得所以，例35若等于（D）（05、3）A、F(sinx）+cB、-F(sinx）+cC、F(cosx）+cD、-F(cosx）+c例36求（05、15）解

6、：原式例37已知等于（C）（06、4）9解：例38计算（06、15）解：原式例39设函数f(x)的一个原函数为sin2x,则=（A）（07、4）解：例40求（07、15）解：原式例41函数f(x)的导数为cosx，且,则不定积分=（08、10）解：所以例42求不定积分（08、15）解：原式9