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1、第四讲不定积分Ⅰ.考试要求1.理解原函数的概念，理解不定积分的概念.2.掌握不定积分的基本公式,掌握不定积分的性质,掌握换元积分法与分部积分法.3.会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分.Ⅱ.考试内容一.原函数的概念1.定义：原函数定义如果,或者,则称是的原函数.2.存在性：连续函数有原函数.推论初等函数在有定义的区间上有原函数.注：（1）原函数有无穷多.（2）任意两个原函数差一个常数.二.不定积分的的概念与性质1.定义：函数的全部原函数{}称为的不定积分,记作.注：（1）不定积分不是一个函数,而是一个函数的集合.（2）2.性质基本性质：,或者,或者运
2、算性质：=注：当积分号消失时加任意常数三.基本公式1.,2.,3.,4.,,5.,6.,7.,8.,9.，10.，11.,12.,13.，14.，15..16..注：不能用初等函数表示的积分,,,.四.基本积分方法1.换元积分法：2.常见换元公式（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,（6）,（7）,（8），令，令,；（9），令,.（10），令,或,（11），令，其中，，（12），令分母次数较高时，倒代换；，3.分部积分法:.注：反对幂三指（1），，（2），，（3）Ⅲ．题型与例题【例1】.【例2】计算下列不定积分【例3】计算不定积分.【例4】求计算不定积分【例5
3、】【例6】计算不定积分【例7】求.【例8】（11317）（本题满分10分）求.【例9】设，求【例10】设函数有连续导函数,且,求.第五讲定积分及其应用Ⅰ.考试要求1.理解定积分的概念．2.掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法．3.会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分．4.理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿－莱布尼茨公式．5.了解反常积分的概念，会计算反常积分．注：（1）数一、数二要求：掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、
4、压力、质心、形心等）及函数的平均值．（2）数三要求：会利用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积和函数的平均值，会利用定积分求解简单的经济应用问题．Ⅱ.考试内容一、定积分的概念与性质1.定义；注：（1）积分与所用变量的符号无关.（2）规定：,.（3）几何意义（4）设在上可积，则特别地，．【例1】求和式极限（1）（2）（3）（4）2.可积的条件（1）可积的必要条件：若在上可积，则在上有界．（2）可积的充分条件：若在上连续或仅有有限个间断点，则在上可积；3.定积分的性质假设各性质中所列出的定积分都是存在的．（1）．（2）．注：分段函数的积分（3）若在上，则．．（4）
5、设与分别是在上最大值与最小值，则．（5）积分中值定理：若在上连续，则存在，使得.注：①可以在区间内部取到.②若在上连续，在上可积且定号,则，使得.【例2】（11304）设,,,则,,的大小关系是[]．....【例3】设函数在区间上可导,且,则存在,使得二、奇偶函数与周期函数的积分性质1.若在上可积，则．2.若在上可积，则．注：若为奇函数，则的原函数均为偶函数．若为偶函数，则原函数中只有一个原函数是奇函数．3.设是以为周期的可积函数，则任意周期上的积分相等.，．4.设是以为周期的连续函数，则的原函数以为周期的充分必要条件是．【例4】积分________．【例5】设
6、是连续函数的一个原函数，“”表示的充要条件是，则必有[ ]．（A）是偶函数Û是奇函数．（B）是奇函数Û是偶函数．（C）是周期函数Û是周期函数．（D）是单调函数Û是单调函数．【例6】设函数，（1）当为正整数，且时，证明：；（2）求.三、计算定积分1.微积分基本公式（牛顿－莱布尼茨公式）：若在上连续，是在上的一个原函数，则．2.换元积分法与分部积分法注：换元要换限【例7】计算。【例8】计算.四、反常积分1.无穷区间的反常积分（1）设在上连续，若极限存在，则称收敛，记作=，否则称发散；若，则．（2）设在上连续，若极限存在，则称收敛，记作=，否则称发散；若，则．（
7、3）设在上连续，若与都收敛，则称收敛，记作=+，否则称发散；若，则．2.无界函数的反常积分（1）设在上连续，点为的瑕点，若极限存在，则称收敛，记作=，否则称发散；若，则．（2）设在上连续，点为的瑕点，若极限存在，则称收敛，记作=，否则称发散；若，则．（3）设在上连续，点为的瑕点，若与都收敛，则称收敛，记作=+，否则称发散；若，则．3.几个重要的反常积分（1）；（2）；（3）；（4）．【例9】（11212）设函数,，则.【例10】计算．【例11】计算．五、定积分的应用㈠平面图形的面积1.在直角坐标系下（1）区间上由曲线与轴所围成的平面图形的面积为．（2）区间上由曲
8、线与所围成的平面图形的面
