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1、第四讲不定积分Ⅰ.考试要求1.理解原函数的概念,理解不定积分的概念.2.掌握不定积分的基本公式,掌握不定积分的性质,掌握换元积分法与分部积分法.3.会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分.Ⅱ.考试内容一.原函数的概念1.定义:原函数定义如果,或者,则称是的原函数.2.存在性:连续函数有原函数.推论初等函数在有定义的区间上有原函数.注:(1)原函数有无穷多.(2)任意两个原函数差一个常数.二.不定积分的的概念与性质1.定义:函数的全部原函数{}称为的不定积分,记作.注:(1)不定积分不是一个函数,而是一个函数的集合.(2)2.性质基本性质:,或者,或者运
2、算性质:=注:当积分号消失时加任意常数三.基本公式1.,2.,3.,4.,,5.,6.,7.,8.,9.,10.,11.,12.,13.,14.,15..16..注:不能用初等函数表示的积分,,,.四.基本积分方法1.换元积分法:2.常见换元公式(1),(2),(3),(4),(5),(6),(7),(8),令,令,;(9),令,.(10),令,或,(11),令,其中,,(12),令分母次数较高时,倒代换;,3.分部积分法:.注:反对幂三指(1),,(2),,(3)Ⅲ.题型与例题【例1】.【例2】计算下列不定积分【例3】计算不定积分.【例4】求计算不定积分【例5
3、】【例6】计算不定积分【例7】求.【例8】(11317)(本题满分10分)求.【例9】设,求【例10】设函数有连续导函数,且,求.第五讲定积分及其应用Ⅰ.考试要求1.理解定积分的概念.2.掌握定积分的性质及定积分中值定理,掌握换元积分法与分部积分法.3.会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分.4.理解积分上限的函数,会求它的导数,掌握牛顿-莱布尼茨公式.5.了解反常积分的概念,会计算反常积分.注:(1)数一、数二要求:掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、
4、压力、质心、形心等)及函数的平均值.(2)数三要求:会利用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积和函数的平均值,会利用定积分求解简单的经济应用问题.Ⅱ.考试内容一、定积分的概念与性质1.定义;注:(1)积分与所用变量的符号无关.(2)规定:,.(3)几何意义(4)设在上可积,则特别地,.【例1】求和式极限(1)(2)(3)(4)2.可积的条件(1)可积的必要条件:若在上可积,则在上有界.(2)可积的充分条件:若在上连续或仅有有限个间断点,则在上可积;3.定积分的性质假设各性质中所列出的定积分都是存在的.(1).(2).注:分段函数的积分(3)若在上,则..(4)
5、设与分别是在上最大值与最小值,则.(5)积分中值定理:若在上连续,则存在,使得.注:①可以在区间内部取到.②若在上连续,在上可积且定号,则,使得.【例2】(11304)设,,,则,,的大小关系是[].....【例3】设函数在区间上可导,且,则存在,使得二、奇偶函数与周期函数的积分性质1.若在上可积,则.2.若在上可积,则.注:若为奇函数,则的原函数均为偶函数.若为偶函数,则原函数中只有一个原函数是奇函数.3.设是以为周期的可积函数,则任意周期上的积分相等.,.4.设是以为周期的连续函数,则的原函数以为周期的充分必要条件是.【例4】积分________.【例5】设
6、是连续函数的一个原函数,“”表示的充要条件是,则必有[ ].(A)是偶函数Û是奇函数.(B)是奇函数Û是偶函数.(C)是周期函数Û是周期函数.(D)是单调函数Û是单调函数.【例6】设函数,(1)当为正整数,且时,证明:;(2)求.三、计算定积分1.微积分基本公式(牛顿-莱布尼茨公式):若在上连续,是在上的一个原函数,则.2.换元积分法与分部积分法注:换元要换限【例7】计算。【例8】计算.四、反常积分1.无穷区间的反常积分(1)设在上连续,若极限存在,则称收敛,记作=,否则称发散;若,则.(2)设在上连续,若极限存在,则称收敛,记作=,否则称发散;若,则.(
7、3)设在上连续,若与都收敛,则称收敛,记作=+,否则称发散;若,则.2.无界函数的反常积分(1)设在上连续,点为的瑕点,若极限存在,则称收敛,记作=,否则称发散;若,则.(2)设在上连续,点为的瑕点,若极限存在,则称收敛,记作=,否则称发散;若,则.(3)设在上连续,点为的瑕点,若与都收敛,则称收敛,记作=+,否则称发散;若,则.3.几个重要的反常积分(1);(2);(3);(4).【例9】(11212)设函数,,则.【例10】计算.【例11】计算.五、定积分的应用㈠平面图形的面积1.在直角坐标系下(1)区间上由曲线与轴所围成的平面图形的面积为.(2)区间上由曲
8、线与所围成的平面图形的面