第05章不定积分

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1、第四章不定积分第一节不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分1、原函数：若,,则称为在上的一个原函数.例如：，是的原函数.２、原函数性质(1)原函数存在定理：设,则存在上的原函数.(2)若为在上的原函数，则都是的原函数,其中为任意常数.(3)若和都是的原函数，则,.证明：..(4)设为在上的原函数,则在上全体原函数为.3、不定积分：函数在上的全体原函数称为在上的不定积分,记作.其中：(1)称为积分号；(2)称为被积函数；(3)称为被积表达式.(4)称为积分变量.显然,若为在上的原函数,则,为任意常数.例1求解:例2求解:例3设曲线通过点（1，2），且其上

2、任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解:设曲线为根据题意知于是又所求曲线方程为4、积分曲线：函数原函数的图形称为的积分曲线.注：的不定积分是一簇积分曲线.5、导数与不定积分的关系(1).(2).(3).(4).可见：微分运算与求不定积分的运算是互逆的.二、基本积分表1、问题提出例：启示：能否根据求导公式得出积分公式？结论：既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.2、基本积分表(为常数)；证明：①②三、不定积分的性质1、.证明：,.2、.（是常数,）.证明：,.例4例5.例6.例7.例8.例9.例10.例11.例

3、12.第二节换元积分法一、第一类换元法1、问题提出问题：如何求？分析：,.解法：令,由于,而,,.2、第一类换元法定理：设具有原函数，可导，则有换元公式.证明：,.例1.例2.例3.例4.例5.例6,.例7.例8.例9.例10.例11.例12.例13.其中：.例14.例15.注意到：.二、第二类换元法1、问题提出问题：如何求？解法：如果令,,那么.2、第二类换元法(1)定理：设是单调的、可导的函数，并且，又设具有原函数，则有换元公式.其中是的反函数.证明：.(2)三角代换一般规律：当被积函数中含有①,可令；②,可令；③,可令.例16.()其中：.例17.

4、()其中：.同时：.()其中：.总之：.()(3)倒代换当分母的阶较高时,可采用倒代换:.例18三、基本积分表(续)；；；；；；；.例19.例20.例21.第三节分部积分法一、分部积分法1、问题提出由于,那么,从而.2、分部积分公式或证明：,.例1.例2.3、与的选择要求(1)易求出；(2)比容易积出.一般地：被积函数为、与时,选择.例如：(1).而(2).显然,比更难积出.例3.例4.例4.二、间接计算方法例5.例6.例7,,.解：(1);(2)由于,那么,.例8.第四节有理函数的积分一、有理函数的积分1、有理函数的化简(1)有理函数：,其中,都是非负

5、整数,及都是实数,并且,.(2)假定分子与分母之间没有公因式①若,称为真分式；②若,称为假分式.(3)利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.例如2、真分式()的化简(可以证明)(1)在实数范围内,多项式可分解为其中.(2)例如①..②.，那么取；取；取.③.，即.3、有理函数的积分(1)有理函数积分可以化成一个多项式的积分和一个真分式的积分；(2)真分式的积分可归结为以下四种类型的积分：①；②,；③；其中：，.④,.(3)定理：有理函数的原函数都是初等函数.例1.例2.例3.例4.二、可化为有理函数的积分1、三角函数有理式的积分,其中

6、：为的有理式.而称为万能代换.证明：由于,那么,从而,且,,那么.例52、简单无理函数有理式的积分,其中：为的有理式.特别地,.例6.例7.例8.例9.本章最后说明：初等函数在其定义域内原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数.例如：,,,等等.