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《高等数学第4章不定积分》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、4.1不定积分的概念与性质4.1.1原函数与不定积分的概念定义1设/(x)为定义在某个区间/上的函数，若存在可导函数F(x),使其在/上的任意一点，都有F(兀)=f(x)或dF(x)=/(x)dx那么函数F(x)称为函数/(x)在区间/上的一个原函数.例如，因(sinx)'=cosx,故sin兀是cosx的原函数；又如当兀〉0时,(lnx)'=丄，故In兀是丄在区问(0,+oo)内的原函数.XX原函数与导函数是一对互逆的概念.在某个区间内，若/(兀)是F(x)的导函数，则F(x)是/(兀)原函数；反之，若F(兀)是/(x)的原函数,则/(x)是F(兀)的导函数.定理1如果
2、函数/(尤)在区间/内连续，那么在/内存在可导函数F(x),使Fx)=f(xxeI.简单地说，就是：连续函数一定有原函数.下面还要说明两点：第一，如果.f(x)在/内有原函数，即有一个函数F(x),使当XGI时F(x)=/(x),那么，对任何常数C,显然也有[Fg+C]=f(x).即对任何常数C,函数F(x)+C也是/(x)的原函数.这说明如果/(Q存在一个原函数，那么/(尤)就有无限多个原函数.第二，在区I、可/内，如果F(x)是/(%)的一个原函数，那么,/(%)的其它原两数和F(x)有什么关系?定理2如果F(x)和G(x)都是区间Z±/(x)的原函数，则有G(兀
3、)=F(兀)+C证明令0(兀)=G(兀)一尸(兀)，贝
4、」0(兀)=Gx)一Fx)由于Fx)=f(x),Gx)=/(x),则在区间/上恒有0(X)=0所以0(兀)=C即G(兀)=F(x)+C这表明G(x)与F(x)只差一个常数.因此，/(兀)的全部原函数可以表示为F(兀)+C我们引进下述定义：定义2如果F(x)是/(兀)在区间/上的一个原惭数，那么F(x)+C(C为任意常数)称为函数/(X)在区间/上的不定积分，记作Jf(x)dx.其中J(拉长的S)称为积分号,广(兀)称为被积函数,f(x)dx称为被积表达式,兀称为积分变量.根据此定义及前面的说明可知，如果F(x
5、)是/⑴在区间/内的一个原函数，那么在/内有jf(x)dx=F(x)+C.由此可知，求不定积分实际上只需求出一个原函数，再加上任意常数即是.【例1］求•解由(孑兀2)'=屮—,得【例2】解由(arcsin兀)'=/【,得dxJ1-F=arcsinx+C.71-%2【例3】求J丄血.X解当XG(-00,0)时，［ln(-x)f=—*(-1)=丄，则在(一00,0)-XX内jkr=ln(-x)+C当xg(0,+oo)时，(lnxy=—,则在(0,+8)内，XI*丄ck二x+CJx故在丄的定义区间(-00,0)U(0,+oo)内,X(丄ck=In兀+C・Jx【例4】设曲线通
6、过点(1,2),且曲线上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解设所求曲线的方程为y=/(兀)，依题设，曲线上任一点(九刃处的切线斜率为y—f(x)=2兀，即/(兀)是2兀的一个原函数.2兀的不定积分为j2xdx=x2+C,因此必有某个常数C使/(兀)=/+c,即曲线方程为y=x2+C.因所求曲线通过点(1,2),故2=1+C,C=l.于是所求曲线为y=X24-1.原函数的图形称为被积函数的积分曲线.本例即是求函数y=2x的通过点（1,2）的那条积分曲线.显然，这条积分曲线可由另一条积分曲线（例如y=x2）沿y轴方向向上平移而得（图4—1）.案例4・1【结
7、冰厚度】美丽的冰城常年积雪，滑冰场完全靠自然结冰，结冰的速度由型=祐（£>0为常数）确定，其中y是从结dr冰起到时刻f时冰的厚度，求结冰厚度y关于时I'可『的函数.解根据题意，结冰厚度y关于时间/的函数为f12-y==—kt2+C,其中常数C由结冰的时间确定.如果心0时开始结冰，此时冰的厚度为0,即有y（0）=0,代入上式得C=0,这时y=-kt2为结冰厚度关于时间的函数.4.1.2不定积分的性质下面介绍不定积分的两个性质.性质1两个函数之和的不定积分等于这两个函数的不定积分Z和，即J[/W+g(x)^x=jf(x)dx+Jg(x)dx这个性质可推广到有限个函数.性质2求
8、不定积分时，被积函数屮不为零的常数因子可以提到积分号外面来，即Jkf(x)dx=f(x)dx(k是常数，且PhO)./性质3[j/(x)ck]=/(x),或d[j(/(x)(Lr]=/(x)(Lr；J/r(x)dx=/(x)+C,或Jdf(x)=f(x)+C.由性质3两式可见，除可能相差一个常数外，微分与不定积分的运算是互逆的.可简述为“先积后微，形式不变；先微后积，差个常数”.女口=(sinx+C)z=cosx,-Jsinxdx【例5】求j（a/x+cosx）dx.解由性质1,得f(Vx+cosx)dx=J/xdx+jco
