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1、第一节 不定积分的概念与性质一、不定积分的概念二、基本积分公式三、不定积分的性质例如:，是函数在上的原函数.，sinx是cosx在上的原函数.又如d(secx)=secxtanxdx,所以secx是secxtanx的原函数.定义设f(x)在区间上有定义,如果对任意的都有F'(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx则称F(x)为f(x)在该区间上的一个原函数.1.原函数的概念一、不定积分的概念（1）一个函数具备什么条件,能保证它的原函数一定存在？（2）如果存在，是否唯一？若不唯一，彼此之间有何关系？问题
2、:答案:(1)如果函数在区间上连续，则它的原函数一定存在．具体理由将在下一章给出．(2)若函数f(x)在区间I上存在原函数，则其任意两个原函数只差一个常数项.证设F(x)，G(x)是f(x)在区间I上的任意两个原函数.所以F'(x)=G'(x)=f(x)，即G(x)=F(x)＋C0(C0为某常数).所以有G(x)－F(x)=C0，于是[G(x)－F(x)]'=G'(x)－F'(x)=f(x)－f(x)=0定义2如果函数F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，那么f(x)的全体原函数F(x)＋C(C为任
3、意常数)称为f(x)在区间I上的不定积分.记作其中记号称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量，C为积分常数.即2.不定积分的概念例1求解解例2求例3求解函数f(x)的原函数图形称为f(x)的积分曲线,不定积分表示的不是一个原函数,而是无穷多个(全部)原函数,通常说成一族函数,反映在几何上则是一族曲线,这族曲线称为f(x)的积分曲线族.图5.13.不定积分的几何意义在相同的横坐标处,所有积分曲线的斜率均为k,因此,在每一条积分曲线上,以x为横坐标的点处的切线彼此平行（
4、图5.1）.f(x)为积分曲线在(x,f(x))处的切线斜率.例3,于这点的横坐标，求此曲线方程，设曲线通过点(2.3),且其上任一点的切线斜率等.解，，依题意可知设所求的曲线方程为xy'xfy==)(=1+22xy因此所求曲线的方程为特别地，有4不定积分与微分的关系微分运算与积分运算互为逆运算.二、基本积分公式例4计算下列积分解例5计算下列积分解(1)(2)三、不定积分的性质性质1被积函数中不为零的常数因子可以移到积分号的前面.性质2可以推广到有限多个函数的情形，即性质2两个函数的和(或差)的不定积分
5、等于各函数不定积分的和(或差)，即例6求解注逐项积分后，每个积分结果中均含有一个任意常数．由于任意常数之和仍是任意常数，因此只要写出一个任意常数即可例7求解例8求解例9求解例10求解解例11求例12求解注例9-例12在基本积分公式中没有相应的类型,但经过对被积函数的适当变形化为基本公式所列函数的积分后,便可逐项积分求得结果.第二节不定积分的积分方法一、第一类换元积分法二、第二类换元积分法三、分部积分法四、简单有理函数的积分五、积分表的使用一、第一类换元积分法例1原因在于被积函数cos2x与公式中的被积函
6、数不一样.如果令u=2x，则cos2x=cosu，du=2dx，从而所以有？分析综合上述分析，此题的正确解法如下：解)()()d(有具有连续导数，则且，如果xuCuFuufj=+=ò定理1公式(1)称为不定积分的第一换元积分公式，应用第一换元积分公式计算不定积分的方法称第一换元积分法.也称“凑微分法”.用第一换元积分法求不定积分的步骤是还应注意到，在换元—积分—还原的解题过程中,关键是换元,若在被积函数中作变量代换=u,还需要在被积表达式中再凑出即,也就是,这样才能以u为积分变量作积分,也就是所求积分化
7、为在上述解题过程中u可不必写出，从这个意义上讲，第一换元积分法也称为“凑微分”法.例2求解例3求解例4求解例5求解例6求解用凑微分法计算不定积分时，熟记凑微分公式是十分必要的，以下是凑微分公式(在下列各式中，a，b均为常数，且):例7求解例8求解例9求解类似地，有例10求类似地，有解例11求解例12求解二、第二类换元积分法一般的说，若积分不易计算可以作适当的变量代换，把原积分化为的形式而可能使其容易积分.当然在求出原函数后，还要将代回.还原成x的函数，这就是第二换元积分法计算不定积分的基本思想.定理2设
8、是单调可导的函数，且如果则有．第二类换元法求不定积分的步骤为例13求解例12—例13的解题方法称为根代换法,一般地说，应用根代换积分时适用于如下情形：例14求解axt例15求解axt例16求解axt例14—例16中的解题方法称为三角代换法或三角换元法.一般的说，应用三角代换法求积分时适用于如下情形：补充的积分公式：由函数乘积的微分公式移项得对上式两端同时积分，得公式(1)或公式(2)称为分部积分公式.或三、分部积分法注意：使用分部积分公式的
