医学高等数学3.1不定积分ppt课件.ppt

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1、旧知回顾：导数的概念微分的概念导数的定义定义1.设函数在点如果的某邻域内有定义并称此极限为则称函数在点处可导，记作:在点的导数.存在微分的定义定义2如果函数的增量是自变量增量的线性函数与自变量增量的高阶无穷小的和其中A是不依赖于△x的x的函数，则称函数y=f(x)在点x处可微，并称A△x为函数y=f(x)在x处的微分，记作dy=A△x3.1不定积分3.2不定积分的计算3.3定积分3.4定积分的计算第三章一元函数积分学3.4广义积分3.1.1不定积分的概念3.1.2不定积分的基本公式和运算法则3.1不定积分在小学和中学我们学过逆运算：如：加法的逆

2、运算为减法乘法的逆运算为除法指数的逆运算为对数问题提出设曲线通过点(1,2)，且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程微分法的逆运算——积分法微分法：已知一个函数，求其导数或微分。积分法：求一个函数，使其导数是一个已知函数。微分法:积分法:互逆运算积分学分为不定积分与定积分两部分．不定积分是作为函数导数的反问题提出的，定积分是作为微分的无限求和引进的，两者概念不相同，但在计算上却有着紧密的内在联系．逆运算定义1若在某一区间上，F′(x)＝f(x)，则在这个区间上，函数F(x)叫做函数f(x)的一个原函数（primitivefu

3、nction）3.1.1不定积分的概念一、不定积分的定义已知(sinx)′＝cosx所以sinx是cosx的一个原函数cosx还有其它的原函数吗？，又因此sinx＋C（C可以取任意的常数）都是cosx的原函数．由此可知，一个函数的原函数并不是唯一的，而是有无穷多个．一般的，若F′(x)＝f(x)，即F(x)是f(x)的一个原函数，则等式[F(x)+C]′＝F′(x)＝f(x)成立（其中C为任意常数），从而一簇曲线方程F(x)＋C是f(x)无穷多个原函数．如果一个函数f(x)在一个区间有一个原函数F(x)，那么f(x)就有无穷多个原函数存在，无

4、穷多个原函数是否都有一致的表达式F(x)＋C呢？定理1:若F(x)是f(x)的一个原函数，则f(x)的所有原函数都可以表示成F(x)＋C（C为任意常数）证明:设G(x)是f(x)的任一原函数，则G′(x)=f(x)又已知F(x)是f(x)的原函数，故也有F′(x)=f(x)所以[G(x)-F(x)]′=f(x)-f(x)=0从而G(x)-F(x)=C，即G(x)=F(x)+C定义2：若F(x)是f(x)的一个原函数，则f(x)的所有原函数F(x)＋C称为f(x)的不定积分（indefiniteintegral）记为∫f（x）dx＝F（x）＋C积

5、分常数积分号被积函数被积表达式积分变量不定积分与原函数是总体与个体的关系。例1求函数f(x)＝3x２的不定积分检验积分结果正确与否的基本方法是：例2求函数f(x)＝１/x的不定积分由于函数f(x)的不定积分F(x)＋C中含有任意常数C，因此对于每一个给定的C，都有一个确定的原函数，在几何上，相应地就有一条确定的曲线，称为f(x)的积分曲线．因为C可以取任意值，因此不定积分表示f(x)的一簇积分曲线，即F(x)＋C．二、不定积分的几何意义因为F′(x)＝f(x)，这说明，在积分曲线簇的每一条曲线中，对应于同一个横坐标x＝x０点处有相同的斜率f(x

6、０)，所以对应于这些点处，它们的切线互相平行，任意两条曲线的纵坐标之间相差一个常数．因此，积分曲线簇y＝F(x)＋C中每一条曲线都可以由曲线y＝F(x)沿y轴方向上、下移动而得到。（1）表示f(x)的一簇积分曲线(常数C)（2）每一条曲线中，对应于同一个横坐标点处有相同的斜率不定积分的几何意义例3求经过点(1,3)，且其切线的斜率为2x的曲线方程．3.1.2不定积分的基本公式和运算法则一、不定积分的基本公式实例结论既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.由不定积分的定义可知，不定积分就是微分运算的逆运算．因此，有一个导

7、数或微分公式，就对应地有一个不定积分公式．基本积分表(k为常数)例：注意将根号函数化为指数函数公式1中k=1求不定积分的基本思想（仍然）是化繁为简——将所求积分化为基本积分表中的积分。微分运算与求不定积分的运算是互逆的:==由此可知：+C,+C.由不定积分定义：两边求导，可知不定积分定义有如下等式立：（1）［∫f(x)dx］′＝f(x)不定积分的导数等于被积函数或d∫f(x)dx＝f(x)dx不定积分的微分等于被积表达式由不定积分定义：（2）∫F′(x)dx＝F(x)＋C或∫dF(x)＝F(x)＋C函数微分的积分与这个函数相差一个常数积分与微分

8、互为逆运算二、不定积分的运算法则１不为零的常数因子，可移动到积分号前∫af(x)dx＝a∫f(x)dx（a≠０）2两个函数的代数和的积分等于函数积分的