高等数学b学习资料-3.1不定积分的概念及其线性法则课件.ppt

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1、第一节不定积分的概念及其线性法则一、原函数与不定积分的概念二、基本积分表三、不定积分的线性运算法则四、直接积分法引例设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线方程.解设曲线方程为根据题意知由曲线通过点(1,2),所求曲线方程为定义：一、原函数与不定积分的概念1.原函数设f(x)在区间I内有定义，若存在可导函数F(x)使对每一个xI有F'(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx，则称F(x)为f(x)在区间I内的一个原函数.关于原函数有以下三个问题：1)f(x)满足什么条件,其原函数一定存在？2)若f(x)有原函数,其原函数有多少个？3)f(x)的全体

2、原函数如何表示?原函数存在定理若f(x)在区间I内连续,则在区间I内一定存在f(x)的原函数.简言之：连续函数一定有原函数.若f(x)有原函数,则f(x)的原函数有无穷多个.若F(x)是f(x)的一个原函数,则f(x)的全体原函数可表示为F(x)+C.(C为任意常数)任意常数积分号被积函数2.不定积分的定义：被积表达式积分变量若F(x)是f(x)在区间I内的一个原函数,则f(x)在区间I内的全体原函数称为f(x)在区间I内的不定积分,例求例2求3.不定积分的几何意义不定积分称为积分曲线族,且在横坐标相同的点处每条曲线上的切线斜率相等都为f(x),即在横坐标相同的点处各切线相互平行.y=F(

3、x)为平面上的一条曲线.y=F(x)+C为平面上的一族曲线.设F(x)是f(x)的一个原函数,则函数f(x)的原函数的图形称为积分曲线.结论：求不定积分的运算与微分运算是互逆的.4.不定积分与微分(导数)的关系由此根据微分公式可得积分公式.二、基本积分表P172(k是常数);例求积分解三、不定积分的线性运算法则(性质可推广到有限多个函数线性组合的情况)四、直接积分法直接积分法根据不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分的方法.例1求下列不定积分：说明以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形才能使用基本积分表.解解解4.求积分解5.求积分解6.求积分解7.求积分解8.求积分解9.求积

4、分解解在求f(x)的所有原函数中,有时需要确定一个满足条件y(x0)=y0的积分曲线.即求通过点(x0,y0)的积分曲线.这个条件一般称为初始条件,它可以唯一确定积分常数C的值.例2解故所求曲线方程为例3解例4解注意:1)导数是唯一的,但原函数不唯一.2)任一初等函数都可求导数,且导数一般也为初等函数,但一些初等函数的不定积分就不能用初等函数来表示.这些不定积分的原函数存在,但不能用初等函数来表示.3)不定积分与变量符号无关.基本积分表不定积分的性质原函数的概念：不定积分的概念：求微分与求积分是互逆关系四、小结思考题符号函数在内是否存在原函数？为什么？思考题解答不存在.假设有原函数故假设错

5、误所以在内不存在原函数.结论每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数.练习题练习题答案