高等数学--5.1不定积分的概念与性质.ppt

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1、第五章不定积分1例定义：5.1.1原函数与不定积分的概念第一节不定积分的概念与性质2原函数存在定理：简言之：连续函数一定有原函数.问题：(1)原函数是否唯一？例（C为任意常数）(2)若不唯一它们之间有什么联系？3关于原函数的定理：（1）若，则对于任意常数，（2）若和都是的原函数，则证（C为任意常数）（C为任意常数）4积分常数积分号被积函数不定积分的定义：被积表达式积分变量在区间(a,b)内，F(x)是函数f(x)的一个原函数，5例1：求解：解：例2：求6不定积分的几何意义y=F(x)是函数ƒ(x)的一个原函数,称y=F(x)的图形是ƒ(x)

2、的一条积分曲线;而是ƒ(x)的原函数一般表达式,所以它对应的图形是一族积分曲线称它为积分曲线族,其特点是:(1)积分曲线族中任意一条曲线可由其中某一条(如y=F(x))沿y轴平行移动c个单位而得到.(如图)当c>0时,向上移动;当c<0时,向下移动.oxyxy=F(x){c7oxyxy=F(x)(2)即横坐标相同点处,每条积分曲线上相应点的切线斜率相等,都为ƒ(x).从而相应点的切线相互平行.注意:当需要从积分曲线族中求出过点的一条积分曲线时,则只须把代入y=F(x)+C中解出C即可.8例3：设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率

3、等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解：设曲线方程为根据题意知由曲线通过点（1，2）所求曲线方程为9由不定积分的定义，可知结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的.10实例启示能否根据求导公式得出积分公式？结论既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.5.1.2基本积分表11基本积分表是常数);说明：121314例4：求积分解：根据积分公式（2）15证：等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）5.1.3不定积分的性质16例5：求积分解：17例6：求积分解：18例7：求积分解：19例8：求积分解：20例9：

4、求积分解：说明：以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表.21解：所求曲线方程为例10：已知函数y=f(x)在点(x，f(x))的切线斜率为，且过点（0，5），求此曲线。22例11：已知某产品的产量Q是时间t的函数，其变化率的关系为Q/(t)＝2t＋10，求此产品的产量函数Q(t)？解：因为Q(t)是其变化率的原函数，依题意有由Q(0)＝0，得C=0。因此，该产品的产量函数为Q(t)＝t2＋10t23考研题欣赏解：设t=lnx，则（1995年3,4）设，则f(x)=24