CH5.1 不定积分的概念与性质.ppt

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1、indefiniteintegral第五章不定积分原函数与不定积分的定义不定积分的几何意义不定积分的性质第一节不定积分的概念及性质（1）从运算与逆运算看初等数学中加法与减法、乘法与除法、乘方与开方、指数与对数等，都是互逆的运算。微分是一种运算：求一个函数的导函数。微分运算的逆运算是什么？问题：一、原函数的概念（2）从物理问题看（3）从几何问题看定义原函数的定义例什么样的函数存在原函数呢？原函数是不是只有一个呢？原函数存在定理：简言之：连续函数一定有原函数.问题：(1)原函数是否唯一？(2)若不唯一它们之

2、间有什么联系？例（为任意常数）关于原函数的说明：（1）若，则对于任意常数（2）若和都是的原函数，则（为任意常数）证（为任意常数）同一函数的原函数不仅不唯一，而且有无穷多个。问题：如何表示这种求原函数的运算？即如何表示？注：求函数f（x）的原函数，实质上就是问它是由什么函数求导得来的，而若求得f（x）得一个原函数F（x），其全体原函数应为二、不定积分的定义：定义任意常数积分号被积函数被积表达式积分变量原函数不定积分不定积分和原函数的关系：不定积分=原函数+任意常数原函数是不定积分其中之一。的原函数的图形称

3、为的积分曲线。三、不定积分的几何意义例1求解解例2求例不定积分=原函数+任意常数例不定积分=原函数+任意常数例3求积分解例4设曲线通过点(1，2)，且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线的方程．解设所求的曲线方程为yf(x)，所以曲线方程为yx2C．因所求曲线通过点(1，2)，故21C，C1．于是所求曲线方程为yx21．按题设已知切线如何求函数的曲线？因为ò2xdx=x2+C，不定积分的求法：利用回忆微分法和函数的求导公式求不定积分实例四、基本积分公式逆运算启示能否根据求

4、导公式得出积分公式？结论既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.积分——回忆微分见书145-146页基本积分表基本积分表基本积分表利用积分基本公式求不定积分例5求积分解根据积分公式（3）五、不定积分的性质（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）不定积分的线性性质例6òx(x2-5)dx=ò(25x-521x)dx例7ò23)1(xx-dxex3sinxC．例8ò(ex-3cosx)dx例9ò2xexdx例10ò241xx+dxtanxxC．4cotxC．

5、例11òtan2xdx=ò(sec2x-1)dx例12òsin22xdx=ò21(1-cosx)dx例13ò2cos2sin122xxdx=ò22sin1øöçèæxdx例14.求解:原式说明：1．分项积分后，我们只写一个C2.检验结果是否正确，只要将结果求导，看它的导数是否等于被积函数。例15求积分解例16求积分解例17求积分解：例18求积分解说明：以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表.练习答案练习答案答案练习答案答案思考题符号函数在内是否存在原函数？为什么？思考题解答不存在.假

6、设有原函数故假设错误所以在内不存在原函数.结论每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数.内容小结1.不定积分的概念•原函数与不定积分的定义•不定积分的性质•基本积分表2.直接积分法:利用恒等变形,及基本积分公式进行积分.常用恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式,代数公式,积分性质对于规则的图形（正方形、矩形、圆等）的面积及规则形状（正方体、圆柱、圆锥等）的体积，这些问题我们在中学已经学过。通过对积分的学习，我们就可以求不规则图形的面积、不规则物体的体积。xf(x)abx..111111111.曲边梯

7、形：y=f(x)，x=a,x=b,y=0绕x轴旋转V=求旋转体体积例不定积分=原函数+任意常数