不定积分的概念与性质 PPT课件.ppt

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1、§4.1不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念二、基本积分表三、不定积分的性质一、原函数与不定积分的概念原函数的概念如果在区间I上,可导函数F(x)的导函数为f(x),即对任一xI,都有F(x)f(x)或dF(x)f(x)dx,那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数.原函数举例所以sinx是cosx的原函数.因为(sinx)cosx,提问：cosx和x21还有其它原函数吗？原函数存在定理如果函数f(x)在区间I上连续,那么在区间I上存在可导函数F(x),使对任一xI都有F(x)

2、f(x).简单地说就是:连续函数一定有原函数.两点说明：1.如果函数f(x)在区间I上有原函数F(x),那么f(x)就有无限多个原函数,F(x)C都是f(x)的原函数,其中C是任意常数.2.函数f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数,即如果(x)和F(x)都是f(x)的原函数,则(x)F(x)C(C为某个常数).不定积分中各部分的名称：------称为积分号,f(x)------称为被积函数,f(x)dx------称为被积表达式,x------称为积分变量.不定积分的概念在区间I上,函数f(x)的带有任意常数项的原

3、函数称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的不定积分,记作根据定义,如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数,那么F(x)C就是f(x)的不定积分,即在区间I上,函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的不定积分,记作不定积分的概念例1因为sinx是cosx的原函数,所以如果F(x)是f(x)的一个原函数,则因为x是x21的原函数,所以求函数xxf1)(=的不定积分.例2合并上面两式,得到解如果F(x)是f(x)的一个原函数,则因为例3一曲线通过点(e2,3),且在任一点处的切线的斜率等

4、于该点横坐标的倒数,求该曲线的方程.解设所求的曲线方程为yf(x),则曲线上任一点(x,y)处的切线斜率为,即f(x)是的一个原函数.故必有某个常数C使f(x)C,即曲线方程为yC.因所求曲线通过点(e2,3),故3=f(e2)=ln

5、e2

6、C=2C,C=3-2=1.于是所求曲线方程为y=ln

7、x

8、1.函数f(x)的积分曲线也有无限多.函数f(x)的不定积分表示f(x)的一簇积分曲线，而f(x)正是积分曲线的斜率.积分曲线函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线.2x的积分曲线微分与积分的关系从不定积分的定

9、义可知又由于F(x)是F(x)的原函数,所以由此可见,如果不计任意常数,则微分运算与求不定积分的运算是互逆的.二、基本积分表例5例4例6三、不定积分的性质这是因为,f(x)g(x).性质1下页三、不定积分的性质性质1性质2例7例8例10三、不定积分的性质性质1性质2例9例11例12例13tanxxC.例14例15积分表基本积分表(1)不定积分的性质原函数的概念：不定积分的概念：求微分与求积分的互逆关系总结