高等数学第5章 定积分和不定积分ppt课件.ppt

《高等数学第5章 定积分和不定积分ppt课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第五章定积分与不定积分5.1定积分的概念与性质5.2不定积分5.3积分法5.4应用与实践5.5拓展与提高一知识结构框图第五章定积分与不定积分第五章定积分与不定积分二教学基本要求和重点、难点第五章定积分与不定积分1．教学基本要求(1)定积分的概念、几何意义、经济意义及其基本性质；(2)无穷区间上广义积分；(3)原函数和不定积分的定义；(4)牛顿—莱布尼兹公式；(5)不定积分计算的基本公式，换元法及分部积分法；(6)定积分求解平面图形的面积和经济应用问题；(7)会用Mathematica软件计算积分。二教学基本要求和重点、难点第五章定积分与不

2、定积分2．教学重点与难点(1)重点定积分与不定积分的概念；求积分的方法；牛顿—莱布尼兹公式。(2)难点定积分概念的理解，第二换元积分法、换元积分法和分部积分法的综合运用。5.1定积分的概念与性质第五章定积分与不定积分5.1.1几个实例1.曲边梯形的面积5.1定积分的概念与性质2变速直线运动的路程设物体作直线运动，速度v=v(t)是时间t的内所经过的路程。连续函数，且。求物体在时间间隔[T1,T2]3）求和4）取极限2）局部近似1）分割5.1定积分的概念与性质5.1定积分的概念与性质3.求总产量问题现设总产量的变化率q是时间t的函数q=q(

3、t)，求在生产连续进行时，从时刻T1到时刻T2的一段时间[T1，T2]上的总产量Q。1）分割2）取近似3）求和4）取极限5.1定积分的概念与性质5.1.2定积分的概念在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点，作乘积得和式：如果时上述和式的极限存在，则称此极限值为函数在区间[a,b]上的定积分。定义5.1设函数y=f(x)在[a,b]上有定义，任取分点，将[a,b]分为n个小区间[xi-1，xi]（i=1,2,…,），记说明：1．定积分是一个数，只取决于被积函数与积分区间，而与积分变量的记号无关；2．定义定积分时已假定下限a小于上限b；（1

4、）当a>b时，（2）当a=b时，3．定积分的存在性：可以证明当f(x)在[a,b]上连续或只有有限个第一类间断点时，在[a,b]上的定积分存在（也称可积）。5.1定积分的概念与性质5.1定积分的概念与性质5.1.3定积分的几何意义（1）曲边梯形的面积5.1定积分的概念与性质（2）曲边梯形的面积负值5.1定积分的概念与性质（3）面积差5.1定积分的概念与性质（4）偶函数面积5.1定积分的概念与性质（5）奇函数面积5.1定积分的概念与性质例1利用定积分的几何意义，求定积分解：该曲边梯形是以点（1，0）为圆心，1为半径的上半圆。性质1函数代数和

5、的定积分等于它们的定积分的代数和。即性质2被积函数的常数因子可以提到积分号前。即5.1.4定积分的性质5.1定积分的概念与性质性质3（定积分的可加性）不论a,b,c三点的相互位置如何，恒有性质4若在区间[a,b]上，恒有，则5.1定积分的概念与性质性质5如果被积函数，则5.1定积分的概念与性质性质6估值定理设函数f(x)在区间[a，b]上的最小值与最大值分别为m与M，则例2估计定积分的值。解：因为当时，由此有于是由估值定理有5.1定积分的概念与性质5.1定积分的概念与性质性质7定积分中值定理如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，则在[a

6、，b]内至少存在一点，使下式成立：函数f(x)在区间[a，b]的平均值。5.1定积分的概念与性质5.1.5牛顿—莱布尼兹公式定理5.1如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a，b]上的一个原函数，则5.1定积分的概念与性质例3计算解：由于是的一个原函数，因此按牛顿—莱布尼兹公式，有5.1定积分的概念与性质5.1.6无穷区间上的广义积分定义5.2设函数f(x)在区间上连续，取b>a。如果极限存在，则称此极限为f(x)在无穷区间上的广义积分，记作，即5.1定积分的概念与性质例4计算广义积分（1）（2）5.2不定积分第五章定积分与不定积分5

7、.2.1不定积分的概念定义5.3若F(x)是函数f(x)的一个原函数，则f(x)的所有原函数F(x)+C（C为任意常数）称为f(x)的不定积分，记作，即5.2不定积分5.2.2不定积分的性质1．积分与微分运算的互逆性质性质1或性质2或5.2不定积分2．不定积分的运算性质性质2性质15.2不定积分5.2.3不定积分的基本积分公式5.2不定积分例5求不定积分5.3积分法第五章定积分与不定积分1.第一换元积分法5.3积分法定理5.2若其中是x的任意一个可微的函数。5.3积分法第一换元积分法，也称“凑微分法”。其计算程序是：5.3积分法例6求不定

8、积分5.3积分法常用的凑微分等式5.3积分法例7求不定积分5.3积分法例8计算：解：因为所以5.3积分法2.第二换元积分法其中是的反函数。定理5.3函数有连续的导数且，又函数有原函数，则5.3