微积分ii第5章不定积分

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1、章节名称：§5.1原函数与不定积分的概念教学目的与要求：理解并掌握不定积分及原函数的概念,能由定义求一些简单的不定积分,理解不定积分的几何意义.教学重点：不定积分的概念及几何意义教学难点：不定积分的概念,积分曲线教学方法：讲练结合作业安排：P1581(1)(3)(4)§5.1原函数与不定积分的概念5.1.1原函数的概念定义1：设是定义在区间D上的已知函数，若存在一个函数F(x),对任何有或则称函数F(x)为已知函数在区间D上的一个原函数。定理1（原函数存在定理）如果函数在区间D内连续，那么在区间D内必存在可

2、导函数，使得对每一都有,即连续函数必定存在原函数。定理2如果函数在区间D内有原函数，那么对于任意常数C,有即函数也是在D内的原函数。这说明函数在D内存在原函数的话，则必有无穷多个原函数。定理3区间D内函数的所有原函数中，任意两个原函数之间只差一个常数。5.1.2不定积分的定义定义2在区间D上，函数带有任意常数项的原函数成为在区间D上的不定积分，记为其中，是积分变量，是被积函数，称为被积表达式，称为积分号。若是的一个原函数，则由定义有，C为积分常数。例2求下列不定积分：（1）（2）5.1.3不定积分的几何意义

3、通常把的一个原函数的图像，叫做函数的积分曲线，它的方程是。这样，不定积分，在几何上就表示一族曲线5，叫做的积分曲线族。章节名称：§5.2不定积分的性质及基本积分公式教学目的与要求：熟练掌握不定积分的性质及基本积分公式，能使用直接积分法计算不定积分。教学重点：不定积分的性质，基本积分公式，直接积分法教学难点：不定积分的性质，直接积分法教学方法：讲练结合作业安排：P1593（3）（4）（5）§5.2不定积分的性质及其基本积分公式5.2.1不定积分的性质由不定积分的定义和导数运算法则，可以得到以下不定积分的性质。

4、性质1求不定积分与求导或求微分互为逆运算。(1)或（1）(2)或（2）也就是，不定积分的导数（或微分）等于被积函数（或被积表达式）；一个函数的导数（或微分）的不定积分与这个函数相差一个任意常数。性质2设函数和的原函数存在，则性质3在求不定积分时，非零常数因子可以提到积分号外面，即5.2.2基本积分公式（见课本）例1求5.2.3直接积分法直接积分法是指直接（或把被积函数通过简单的恒等变形后）利用不定积分的运算性质和积分基本公式求出不定积分的方法。例2求下列不定积分:(1)；(2)；(3)；(4).章节名称：§

5、5.3换元积分法5教学目的与要求：熟练掌握第一换元积分法，理解第二换元积分法，能用换元积分法积分教学重点：第一换元积分法教学难点：凑微分，第二换元法教学方法：讲练结合作业安排：P1594（1）（3）（4）（13）P1601(4)§5.3换元积分法5.3.1第一换元积分(凑微分)法对于复合函数，令，若，有那么此式告诉我们，如果某积分的被积表达式为的结构形式，则可先计算，并令，则有再利用基本积分公式求得积分结果。此方法称为第一换元积分法，又称凑微分法例如，求，这里可把看作通过中间变量复合而成的复合函数，而被积表

6、达式的剩余部分可凑成的微分，即，于是有由积分基本公式，可得：例1求.例2求.例3求例4求例5求例6求可以看出，用凑微分法求解不定积分时，关键问题是要熟练掌握一些常见的凑微分形式，做到根据中间变量的具体形式而灵活运用。常见的几种基本凑微分形式如下（其中）：5(1)(2)特别是：，(3)(4)(5)(6)(7)(8)章节名称：§5.4分部积分法教学目的与要求：掌握分部积分法，用分部积分法计算不定积分教学重点：分部积分法教学难点：分部积分法及公式推导教学方法：讲练结合作业安排：P1595(1)(2)(3)(4)§

7、5.4分部积分法若某个积分的被积函数可以表示为两个因子的乘积，且其中一个恰是某函数的导数，即为的形式，而又难以用直接积分法或凑微分法求解，往往要使用分部积分法进行求解。设函数具有连续导数，根据乘法微分公式有即对该式两边同时积分得此公式称为分部积分公式。分部积分的关键是首先明确适应于分部积分的被积函数类型、u的选择及凑成dv。常见的分部积分类型共有五种：5(1)或(2)(3)(4)(5)也可令或也可令例1求.例2求.例3求.例4求.例5求。例6求.5