第四章 不定积分复习

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1、第四章不定积分一、基本要求1.理解原函数概念，理解不定积分的概念及性质。2.掌握不定积分的基本公式、换元法、分部积分。3.了解有理函数及可化为有理函数的积分方法。二、主要内容不定积分概念不定积分性质基本积分法基本积分公式无理函数的积分可化为有理函数的积分原函数概念第二类换元法第一类换元法分部积分法Ⅰ.原函数与不定积分概念1.原函数设在区间Ⅰ上可导，且（或）就称为在Ⅰ的一个原函数。2.不定积分在区间Ⅰ上函数的所有原函数的集合，成为在区间Ⅰ上的不定积分，记作.其中为在Ⅰ上的一个原函数，为任意常数.Ⅱ.不定积分的性质1.(或)2.(或)3.其中为非零常数.4..14Ⅲ.基本积分公式1.

2、(为常数)2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.1422.23.24.Ⅳ.换元积分法1.第一类换元法.(凑微分法)()(其中可导，为的一个原函数).2.第二类换元法()(其中单调可导，且，为的一个原函数)Ⅴ.分部积分法(其中具有连续导数)Ⅵ.有理函数与三角函数有理式的积分两个多项式的商所表示的函数称为有理函数，有理函数总可以化为多项式与真分式的代数和，而真分式总可以分解为部分分式的代数和，所以有理函数的积分可化为整式和下列四种部分分式的积分.(1)(2)(3)(4)而求这四种积分也可用凑微分法或第二类换元法.三角函

3、数有理式的积分，总可用万能代换将原不定积分化为为积分变量的有理函数的积分，但对有些三角有理式的积分，有时用三角公式转化，再用前所述的基本公式或积分方法求解，可能更简便些.一、重点与难点原函数与基本积分公式换元法、分部积分法等基本积分方法抽象函数的积分14一、例题解析Ⅰ、选择题例1若的导数是，则有一个原函数为()(A)(B)(C)(D)解应选(B).因为，而例2设有原函数，则（）(A)(B)(C)(D)解而，，故所以应选(B).Ⅱ、填空题例3设为定义区间上单调连续可微函数，为相应的反函数，若，则为解Ⅲ、讨论题例4解下列各题，并比较其解法：(1)(2)(3)(4)解(1).14(2)

4、.(3)(4)比较上述四题，发现各小题的被积函数很相似，但解法却不尽相同。注意观察被积函数的特点，第一题中分子的次数比分母低一次，正好可凑微分使变量一致；第二题中分子与分母同次，需要拆项，使分子次数低于分母，即被积函数成为多项式与真分式的代数和才可积分；第三题中分子次数高于分母一次，凑微分后分子分母同次，再仿第二题求解；第四题中分子次数高于分母二次，凑微分则无效，只能根据分母情况拆项仿第二题的方法求解。由此可见在不定积分的计算过程中需针对具体情况选择适当方法求解。例5讨论利用第一类换元法求积的几种类型(设)(1)()(2)()14如求解原式(3)()如求解原式(4)如求解原式其它

5、一些类型，例如，，等，请同学们自己加以总结.14V.计算题例6求分析此题先把被积函数写成拆成两项再进行积分较方便.解例7求解例8求解令，则14例9求解令，即，例10求解令，例11求解14注：最后一步等号成立是因为可设的一个原函数为，于是例12求的递推公式解记，则.当时，即例13求解去分母后，再比较两边同次幂的系数得，，，，于是14=而从而例14求分析被积函数为有理函数，但若直接将被积函数转化为部分分式，计算较繁，因此可考虑采用较灵活的基本积分方法.此题利用换元法计算较简便.解令，.例15求分析对于三角函数有理式的积分，除了用“万能代换令”之外，往往可考虑用前面的基本积分方法.解=

6、=+14=-+=++.例16求解=====+.例17求,.解+由此得.例18求解令，，则.====+.例19计算下列各题(1).14(2)设，求.(3)设，求.(4)已知且，求.解(1)原式====.(2)设，则==即.，即.(3),即有..(4)，即，14.由，..例20设，求.解由于，可知在()上连续.因此的原函数一定存在，设为的一个原函数.因为可导，则必连续.，.在处连续，即有.则的一个原函数为.故.注：求连续分段函数的原函数时，一定要保证的连续性，而这时的可导性就可以得到满足.例21设在处满足，求满足条件的.解由微分定义可得，即，，，.14由条件，则.例22设为的原函数，

7、且当时，.已知，.试求.解由得，即..由，于是.又，从而，所以.14