人教选修1-1A_导数的概念(用)

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1、导数的概念教学目的：1.理解导数的概念，学会求函数在一点处的导数的方法.2.理解掌握开区间内的导数概念，会求一个函数的导数.3•理解函数在一点处可导，则函数在这点连续・教学重点：导数的定义与求导数的方法.教学难点：导数概念的理解，通过曲线切线的斜率与瞬时速度引出导数的概念,从导数的定义归纳出求导数的方法.授课类型：新授课・课时安排：1课时・教具：多媒体、实物投影仪・教学过程：一、复习引入：1.曲线的切线如图，设曲线c是函数y=/(x)的图彖，点P(x0,y0)是曲线c上一点.作割线PQ当点Q沿着曲线c无限地趋近于点P,割线PQ无限地趋近于某一极限位置PT・我们就

2、把极限位置上的直线PT,叫做曲线c在点P处的切线.2.确定曲线c在点卩(％,儿)处的切线斜率的方法：因为曲线c是给定的，根据解析几何中直线的点斜是方程的知识，只要求出切线的斜率就够了•设割线PQ的倾斜角为0,切线PT的倾斜角为q,既然割线PQ的极限位置上的直线PT是切线，所以割线PQ斜率的极限就是切线PQ的斜率tana,即Ay/(x0+Ax)-/(x)tana二lim——=limJ——:•AxtOAr->03.瞬时速度定义:运动物体经过某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度.4.确定物体在某一点力处的瞬时速度的方法：从广0到N+力&这段时间是4t.吋间4广足够

3、短，就是4r无限趋近于0.当ZU-0时，平均速度就越接近于瞬时速度，用极限表示瞬时速度瞬时速度v=limv=lim的。+&)7仏)A/->0&->0Ar二、讲解新课:e1・导数的定义：设函数y=/(x)在xr()处附近冇定义，当自变量在x=x()处有增量Ax吋，则函数y=/(兀)相应地有增量Aj=f(x0+Ax)-/(x0),如果心TO时，3与心的比型(也叫函数的平均变化率)有极限即型无限趋近心心于某个常数，我们把这个极限值叫做函数y=/(x)在xTx。处的导数，记作『仁，即门心訥心鴛曲°心->()Ar注意：(1)函数应在点X。的附近有定义，否则导数不存在.(2

4、)在定义导数的极限式中，心趋近于0可正、可负、但不为0,而△)，可能为0・⑶型是函数y=于⑴对口变量兀在心范围内的平均变化率，它的儿何意Ax义是过曲线y=/(x)±点、(x0,/(x0))及点(X。+AxJOo+Ax))的割线斜率.(4)导数严(兀°)=lim/(儿+心)一/(")是函数y=/(兀)在点兀。的处瞬时变&->°Ax化率，它反映的函数)y/(X)在点兀。处变化的快慢程度.它的几何意义是曲线)y/(x)±点、(%‘/(%))处的切线的斜率•因此,如果y=/(%)在点兀。可导，则曲线y=f(x)在点(兀0，/(兀0))处的切线方程为y-f(x0)=f/(

5、x0)(x-x0).(5)导数是一个局部概念，它只与函数)y/(兀)在x。及其附近的函数值有关,与Ax无关.(6)在定义式中，设x=x0+Ar,则心=兀-兀0,当山趋近于0时，兀趋近于X。，因此，导数的定义式可写成厂他)=limg+3-心)=Hm心TO心XT%X一X()(4)若极限lim/^o+Ar)-/(xo)不存在，则称函数丁=/(兀)在点心处不可山t°Axe导.(5)若于(兀)在兀o可导,则曲线y=f(x)在点(x0,/(x0))有切线存在•反之不然，若曲线y=f(x)在点(x0,/(x0))有切线,函数y=/(x)在x。不一定可导，并且,若函数y=/(x

6、)在兀。不可导,曲线在点(兀(),/(兀()))也可能有切线.2.导函数(导数)：如果函数y=/(x)在开区间(a,b)内的每点处都有导数，此时对于每一个xw(a,b),都对应着一个确定的导数f(x),从而构成了一个新的函数/ZU),称这个函数/z(x)为函数y=f(x)在开区间内的导函数，简称导数,也可记作『，即fx)=/=lim=lim/(X+Ar)~/(X)心->0心山5Ax函数尸/(X)在%0处的导数

7、心。就是函数)，=/(X)在开区间(")(〃(“))上导数.厂⑴在兀。处的函数值，即y=/s)・所以函数)，=/(兀)在心处的导数也记作〃(兀o)・注意

8、：导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值•它们之间的关系是函数y=/(兀)在点兀。处的导数就是导函数fx)在点X。的函数值.3•可导：如果函数y=/(x)在开区间仏b)内每一点都冇导数，则称函数y=.f(x)在开区间(a,b)内可导.4.可导与连续的关系：如果函数尸/'(*)在点兀处口J导，那么函数尸f(x)在点禺处连续，反Z不成立.函数具有连续性是函数貝有可导性的必要条件，而不是充分条件.从/<劝在乂处可导的定义可以知道，Hx)在乂处有定义，考察代力在Ao处是否有极限，并且是否等于At0

9、).已知尸(Q二Um込也