【创新设计】高一数学人教B版必修4学案：131正弦函数的图象与性质（二）

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1、1.3.1正弦函数的图象与性质（二）［学习目标］1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义2会求函数y=Asm（cox+（p）的周期.3.掌握函数y=sinx的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性.戸预习导学/挑战自我，点点落实［知识链接］1.观察正眩函数图象知正弦曲线每相隔2兀个单位重复出现，其理论依据是什么？答诱导公式sin（x+2M）=sinx（圧Z）当自变量x的值增加2兀的整数倍吋，函数值重复出现.数学上，用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律.2.观察正弦曲线的对称性，你有什么发现？答正弦函数y=sinx的图象关于原点对称.［预习导引］_如

2、-1yTT"211.正弦曲线y=sinx,xER3ttTJL■■■7X■/r212L2从函数图象看，正眩函数p=sinx的图象关于原点对称;从诱导公式看，sin（_x）=—sinjc对一切jveR恒成立.所以说，正弦函数是R上的童函数.2.函数的周期性⑴对于函数.心）,如果存在一个非零常数T,使得定义域内的每一个X值都满足心+门=心）,那么函数./U）就叫做周期函数，非零常数厂叫做这个函数的周期.⑵如果在周期函数.心）的所有周期屮存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做.心）的最小正周期.3.正弦函数的周期rtlsin（x+2M）=sii］_jr知止弦函数y=

3、sinx是周期函数,2kit（keZ且kHO）都是它的周期，最小正周2兀.〒课堂讲义全重点难点，个个击破要点一求三角函数的周期例1求下列函数的周期:(l)y=si(2)y=

4、sin2x

5、(xGR).解⑴方法一令z=2x+务VxeR,・・・zGR.函数./（x）=sinz的最小正周期是2兀，就是说变量z只要且至少要增加到三+2兀，函数/x）=sinz（z丘R）的值才能重复取得，而z+27i=Zv+j+27r=2（x+7r）+f,所以自变量x只要且至少要增加到x+n,函数值才能重复取得，从而函数./（x）=sin（2x+¥）（xWR）的周期是兀.方法二./（X）=s

6、in（2x+扌）的周期为乎=九(2)作出j=

7、sin2x

8、的图象.由图象可知，y=

9、si訂纠的周期为号.规律方法（1）利用周期函数的定义求三角函数的周期，关键是抓住变量“X”增加到“x+r时函数值重复出现，则可得卩是函数的一个周期.（2）常见三角函数周期的求法：①对于形如函数y=Asm（cox+（p）,少HO的周期求法通常用公式T=益来求解.②对于形如y=Asin的周期情况常结合图象法来解决.(2)y=2sin跟踪演练1求下列函数的最小正周期：(l)y=sin解⑴如果令"=芬,则sin

10、x=sinw是周期函数，且最小正周期为2九.*.sinf^v+27iX「1

11、"I1=sin^,即sin㊁（兀+4兀）=sin尹.=2血卜効.・J=sin芬的最小正周期是4兀.171即2sin亍（兀+6兀）一石/.^=2sin^j—的最小正周期是6兀.要点二函数周期性的应用例2定义在R上的函数夬兀)既是偶函数又是周期函数，若./(X)的最小正周期是兀，且当xW0,申时，./(x)=sinx,求的值.解・・7(力的最小正周期是兀，••侮膺・・・.心)是R上的偶函数,规律方法解决此类问题关键是综合运用函数的周期性和奇偶性，把自变量X的值转化到可求值区间内.跟踪演练2若./⑴是以号为周期的奇函数，且y(3=i，求./(—¥)的值.解因金)是以号

12、为周期的奇函数，所以(一罟)=/(一普+号)=/(一申)=一点)=一1•要点三函数奇偶性的判断例3判断下列函数的奇偶性：(2)/(x)=y]2smx—；(3)/(x)=lg(sinx+yj]+sin2x).解(1)函数的定义域为R,且./(x)=75sin(2A-+号兀)=迈sin(2x+3=p^cos2x,显然有/(—x)=/(x)恒成立.函数/(x)=p^sii(2x+益)为偶函数.⑵白2sinx—120,即sinxN*,得函数的定义域为2刼+号2刼+务伙GZ),此定义域在x轴上表示的区间不关于原点对称.・••该函数不具有奇偶性，为非奇非偶函数.(3)函数

13、的定义域为R/(—x)=lg(—sinx+yj1+sin2x)^sinx+yji+sin2x=—lg（sinx+寸l+si『x）=一心），函数/(x)=lg(sin兀+寸1+si『x)为奇函数.规律方法判断函数奇偶性时，必须先检查定义域是否关于原点对称.如果是，再验证/(一X)是否等于一/(X)或/(X),进而判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数必为非奇非偶函数.跟踪演练3判断下列函数的奇偶性：(l)/(x)=lg(l—sinX)—lg(l+sinx)；“1+sinx—cos'x⑵何=-1+^~•解(1)白｛l—sinx>0,1+sinx>0,得一lvsinxV

14、.解得定义域为｛gR且详