2018版高中数学人教b版必修四学案1.3.1 正弦函数的图象与性质（二）

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1、1.3.1正弦函数的图象与性质(二)[学习目标]1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期.3.掌握函数y＝sinx的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性．[知识链接]1．观察正弦函数图象知正弦曲线每相隔2π个单位重复出现，其理论依据是什么？答诱导公式sin(x＋2kπ)＝sinx(k∈Z)当自变量x的值增加2π的整数倍时，函数值重复出现．数学上，用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律．2．观察正弦曲线的对称性，你有什么发现？答正弦函数y＝sinx的图象关于原点对称．[预习导引]1．正弦曲线从函数图

2、象看，正弦函数y＝sinx的图象关于原点对称；从诱导公式看，sin(－x)＝－sin_x对一切x∈R恒成立．所以说，正弦函数是R上的奇函数．2．函数的周期性(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值都满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．3．正弦函数的周期由sin(x＋2kπ)＝sin_x知正弦函数y＝sinx是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是

3、2π.要点一求三角函数的周期1例1求下列函数的周期：π2x＋(1)y＝sin3(x∈R)；(2)y＝

4、sin2x

5、(x∈R)．π解(1)方法一令z＝2x＋，∵x∈R，∴z∈R.3函数f(x)＝sinz的最小正周期是2π，就是说变量z只要且至少要增加到z＋2π，函数f(x)＝sinz(z∈R)的值才能重复取得，ππ而z＋2π＝2x＋＋2π＝2(x＋π)＋，所以自变量x只要且至少要增加到x＋π，函数值才能重33π2x＋复取得，从而函数f(x)＝sin3(x∈R)的周期是π.π2x＋2π方法二f(x)＝sin3的周期为＝π.2(2)作出y＝

6、sin2x

7、的图象

8、．π由图象可知，y＝

9、sin2x

10、的周期为.2规律方法(1)利用周期函数的定义求三角函数的周期，关键是抓住变量“x”增加到“x＋T”时函数值重复出现，则可得T是函数的一个周期．(2)常见三角函数周期的求法：2π①对于形如函数y＝Asin(ωx＋φ)，ω≠0的周期求法通常用公式T＝来求解．

11、ω

12、②对于形如y＝

13、Asinωx

14、的周期情况常结合图象法来解决．跟踪演练1求下列函数的最小正周期：xπ1－(1)y＝sinx；(2)y＝2sin36.211解(1)如果令u＝x，则sinx＝sinu是周期函数，且最小正周期为2π.2211x＋2πxx＋4π1∴sin

15、2＝sin，即sin2＝sinx.221∴y＝sinx的最小正周期是4π.2xπxπ－＋2π－(2)∵2sin36＝2sin36，21πxπx＋6π－－即2sin36＝2sin36.xπ－∴y＝2sin36的最小正周期是6π.要点二函数周期性的应用例2定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当π5π0，x∈2时，f(x)＝sinx，求f3的值．解∵f(x)的最小正周期是π，5π5ππ－2π－∴f3＝f3＝f3.∵f(x)是R上的偶函数，ππ－π3∴f3＝f3＝sin＝.325π3∴f3＝.2规律方法解决此类问题关

16、键是综合运用函数的周期性和奇偶性，把自变量x的值转化到可求值区间内．π5ππ－跟踪演练2若f(x)是以为周期的奇函数，且f3＝1，求f6的值．25π5πππππ－－＋－解因f(x)是以为周期的奇函数，所以f6＝f62＝f3＝－f3＝－1.2要点三函数奇偶性的判断例3判断下列函数的奇偶性：52x＋π(1)f(x)＝2sin2；(2)f(x)＝2sinx－1；(3)f(x)＝lg(sinx＋1＋sin2x)．5π2x＋π2x＋解(1)函数的定义域为R，且f(x)＝2sin2＝2sin2＝2cos2x，显然有f(－x)＝f(x)恒成立．52x＋π∴函数f(x)

17、＝2sin2为偶函数．π512kπ＋，2kπ＋π(2)由2sinx－1≥0，即sinx≥，得函数的定义域为66(k∈Z)，此定义域在2x轴上表示的区间不关于原点对称．∴该函数不具有奇偶性，为非奇非偶函数．3(3)函数的定义域为R.f(－x)＝lg(－sinx＋1＋sin2x)1＝lgsinx＋1＋sin2x＝－lg(sinx＋1＋sin2x)＝－f(x)，∴函数f(x)＝lg(sinx＋1＋sin2x)为奇函数．规律方法判断函数奇偶性时，必须先检查定义域是否关于原点对称．如果是，再验证f(－x)是否等于－f(x)或f(x)，进而判断函数的奇偶性；如果不是

18、，则该函数必为非奇非偶函数．跟踪演练3判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝lg