2018版高中数学人教b版必修四学案1.3.1 正弦函数的图象与性质（四）

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1、1.3.1　正弦函数的图象与性质(四)[学习目标]　1.掌握y＝sinx与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤.2.能根据y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，确定其解析式.3.了解y＝Asin(ωx＋φ)的图象的物理意义，能指出简谐运动中的振幅、周期、相位、初相．[知识链接]1．“五点法”画图画正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．2．物理中，简谐运动的图象就是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞)的图象，其中

2、A＞0，ω＞0.描述简谐运动的物理量有振幅、周期、频率、相位和初相等，你知道这些物理量分别是指哪些数据以及各自的含义吗？答　A是振幅，它是指物体离开平衡位置的最大距离；T＝是周期，它是指物体往复运动一次所需要的时间；f＝＝是频率，它是指物体在单位时间内往复运动的次数；ωx＋φ称为相位；φ称为初相，即x＝0时的相位．[预习导引]1．用“图象变换法”作y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象(1)φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响y＝sin(x＋φ)(φ≠0)的图象可以看作是把正弦曲线y＝sinx上所有的点向左(

3、当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动

4、φ

5、个单位长度而得到．(2)ω(ω>0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响函数y＝sin(ωx＋φ)的图象，可以看作是把y＝sin(x＋φ)的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到．(3)A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0

6、A，A]，最大值为A，最小值为－A.2．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质如下7定义域R值域[－A，A]周期性T＝奇偶性φ＝kπ(k∈Z)时是奇函数；φ＝＋kπ(k∈Z)时是偶函数；当φ≠(k∈Z)时是非奇非偶函数单调性单调增区间可由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)得到，单调减区间可由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)得到要点一　图象的变换例1　函数y＝2sin＋1的图象是由函数y＝sinx的图象通过怎样的变换得到的？解　方法一　(先伸缩后平移)：y＝sinxy＝2sinxy＝2sin2xy＝2si

7、n2＝2siny＝2sin＋1.方法二　(先平移后伸缩)：y＝sinxy＝2sinxy＝2siny＝2siny＝2sin＋1.规律方法　已知两个函数的解析式，判断其图象间的平移关系的步骤：(1)将两个函数解析式化简成y＝Asinωx与y＝Asin(ωx＋φ)，即A、ω及名称相同的结构．(2)找到ωx→ωx＋φ，变量x“加”或“减”的量，即平移的单位为.7(3)明确平移的方向．跟踪演练1　要得到函数y＝sin的图象，只要将y＝sin2x的图象(　　)A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位答案　C

8、解析　因为y＝sin＝sin2，所以把y＝sin2x的图象上所有点向左平移个单位，就得到y＝sin2＝sin的图象．要点二　“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图例2　用“五点法”作出函数y＝2sin的简图，并指出该函数的单调区间．解　(1)列表如下：2x＋0π2πx－y020－20(2)描点、连线，如图．利用这类函数的周期性，我们可以把上面所得到的简图向左、向右扩展，得到函数y＝2sin；x∈R的简图．由图象知，在一个周期内，函数在上单调递减，函数在上单调递增．又因为函数的周期为π，所以函数的单调递减区间为(k∈Z)；单

9、调递增区间为(k∈Z)．规律方法　用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)的简图，先作变量代换，令X＝ωx＋φ，再用方程思想由X取0，，π，π，2π来确定对应的x值，最后根据x，y7的值描点、连线画出函数的图象．跟踪演练2　作出函数y＝sin在长度为一个周期的闭区间上的图象．解　列表：X＝x－0π2πXπ4π7πy＝sin00－0描点画图(如图所示)：要点三　求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式例3　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分如图所示，求此函数的解析式．解　方法一　(逐一定参法)由图象知A＝3，T

10、＝－＝π，∴ω＝＝2，∴y＝3sin(2x＋φ)．∵点在函数图象上，∴0＝3sin.∴－×2＋φ＝kπ，得φ＝＋kπ(k∈Z)．∵

11、φ

12、<，∴φ＝.∴y＝3sin.方法二　(待定系数法)由图象知A＝3.∵图象过点和，7∴解得∴y＝3sin.方法三　(图象变换法)由A＝3，T＝