高二数学人教B版必修4学案:131正弦函数的图象与性质三含解析

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1、1.3.1正弦函数的图象与性质(三)【明目标、知重点】1.掌握_y=si眦的最大值与最小值,并会求简单三角函数的值域和最值2掌握p=sinx的单调性,并能利用单调性比较大小.3.会求函数y=Asin(cox+(p)的单调区间.填要点•记疑点正眩函数的图象和性质函数y=sinx图象定义域(—8,+OO)值域[-1,11奇偶性童函数周期最小正周期:2n单调性在—号+2加,乡+2M上递增;「兀31在㊁+2ht,尹+2ht上递减,英中k^Z最值7T兀=空+2尿时,Hmx=l伙EZ);TTX=—空+2航吋,尹min=—1伙WZ)探要点•究所然[情境导学]

2、周期性、奇偶性是正弦函数所具有的基本性质,此外,正弦函数还具有哪些基本性质?我们将对此作进一步研究.探究点一正弦函数的值域及最值问题正弦曲线:由正弦曲线很容易看出正弦函数的定义域是实数集R思考1观察正眩曲线,正眩函数是否存在最大值和最小值?若存在,其最大值和最小值分别为多少?答正弦函数存在最大值和最小值,分别是1和一1.思考2当自变量兀分别为何值时,正弦函数p=sinx取得最大值1和最小值一1?答对于正弦函数y=sinx,xWR,有:当且仅当兀=号+2刼,MZ时,取得最大值1;当且仅当兀=—号+2刼,胆Z时,取得最小值一1.例1求使下列函数取得

3、最大值和最小值的x的取值范围,并说出最大值和最小值是什么:(1)y=sin2x;(2)y=sinx+2;(3)^=(sinx—l)2+2.jrTT解⑴当2x=2ht+㊁伙WZ),即不圧Z)时,函数y=sin2工取得最大值,最大值是1;当2x=2knZ),即x=kn—^(k^Z)时,函数j=sin2x取得最小值,最小值是一1.(2)白于函数y=sinx与函数^=sinx+2同时取得最大值或同时取得最小值.因此:JT当兀=2刼+㊁伙WZ)时,函数y=sinx+2取得最大值,最大值为3;7T当兀=2刼一尹:WZ)时,函数y=sinr+2取得最小值,最

4、小值为1.⑶设/=sig则有尹=(/—1尸+2,且/e[-l,l],于是问题就变成求闭区间上二次函数的最大值和最小值问题了.在闭区间[—1,1]上,当/=—1时,

5、L1

6、最大,函数,=(/—1)?+2,取得最大值(一1—1)?+2=6.TT―IT由/=sinx=—1,得x=2Atc—㊁伙WZ),这就是说,当x=2刼一㊁伙WZ)时,函数尹二⑸眦一1)2+2取得最大值6.在闭区间[-1,1]±,当/=1时,

7、/一1

8、最小,函数y=(t-)2+2取得最小值,最小值为2.由f=sinx=l,得x=2加+号伙GZ),这就是说,当兀=2加+钦GZ)时,函

9、数y=(sinx~I)2+2取得最小值2.反思与感悟形如f(x)=asin1x+bsirvc+c(a^O)的函数值域问题,可以通过换元转化为二次函数g(t)=at2+bt+c在闭区间[-1,1]上的最值问题.要注意,正、余弦函数值域的有界性,即当xWR时,一lWsinxW1对值域的影响.跟踪训练1求函数>'=sin2x—siar+1,xGR的值域.解设/=sin_r,—1,1],/(/)=『—汁1.y(t)=t2-t+1=卜井+寻•・・一1W/Wi,・••当f=—1,即sinx=—1时,皿=XOmax=3;113当t=29即S^nx=2时,J

10、'min=/(f)min=孑「3-・:函数y=sin2x—sinx+1,x^R的值域为才,3.探究点二正弦函数的单调性思考观察正弦曲线,正弦函数在哪些区间上是增函数?在哪些区间上是减函数?如何将这些单调区问进行整合?答正弦函数都是周期函数,且周期是271,首先研究它们在一个周期区I、可上函数值的变化情况,再推广到整个定义域.函数y=sinx,x斗一即嶋的图象如图所示:观察图象可知:当xE[~2f号]时,曲线逐渐上升,是增函数,sinx的值由一1增大到1;当用底,夢]时,曲线逐渐下降,是减函数,sinx的值由1减小到一1.推广到整个定义域可得:当

11、用[一号+26,申+2伝](圧勾时,正弦函数j=sinx是增函数,函数值由一1增大到1;当淀岸+2航,乎+2$推Z)时,正弦函数尸sii*是减函数,函数值由1减小到一1.探究点三函数y=Asin(cox+(p)(A>0)^J单调性思考1怎样确定函数y=/sin(亦+卩)3>0)的单调性?答当co>0时,把cox+(p看成一个整体,视为X若把cox+(p代入到y=sinX的单调增区间,则得到2竝一号冬亦+応2刼+瓠EZ),从中解出x的取值区间就是函数y=As(a)x--(p)的增区间.若把cox+(p代入到y=sinX的单调减区间,则得到2

12、hr+号£亦+応2加+尹伙WZ),从屮解出x的収值区间就是函数y=/sin(e+0)的减区间.当血<0时,先利用诱导公式把x的系数转化为正数后,再根据

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