08-09数学分析II(A卷,答案)

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1、暨南大学《数学分析II》试卷（A卷）考生姓名：学号：暨南大学考试试卷教师填写20_08_-2009_学年度第___2_____学期课程名称：数学分析II授课教师姓名：刘红霞、伍超标考试时间:2009年_7_月__13_日课程类别必修[√]选修[]考试方式开卷[]闭卷[√]试卷类别(A、B)[A]共10页考生填写学院(校)专业班(级)姓名学号内招[]外招[]题号一二三四五六七八九十总分得分得分评阅人一、单选题（每小题2分,共8分）1.有限区间上不可积的函数类有：（c）.(a)连续函数；(b)Rieman函数；(c)Dirichlet函数;(d)有有限个间断点的有

2、界函数.2.函数的原函数为：（a）.(a);(b);(c);(d)其中为任意常数.3.关于数项级数，以下陈述不正确的是：（b）.(a)通项序列的极限为零是级数收敛的必要条件;(b)部分和序列有界是级数收敛的充分必要条件;第10页共10页暨南大学《数学分析II》试卷（A卷）考生姓名：学号：(c)余项序列的极限为零是级数收敛的充分必要条件;(d)部分和序列的极限存在是级数收敛的充分必要条件.4.函数的Maclaurin级数展开式为：（b）.(a)，;(b)，;(c)，;(d)，.得分评阅人二、填空题（每空1.5分,共15分）1.设,，及，则5,30.2.设，，则，

3、其中2，.3.区间上的曲线段与轴围成的区域的面积为1/44.区间上的曲线段的弧长为125.设，则1，6.6.设，则级数发散(收敛/发散）,因为极限.得分评阅人三、判断题（若正确的命题请给予证明,错误的命题请举出反例并作必要的说明）（每小题6分,共12分）1.函数项级数在区间上一致收敛.解：此命题正确。利用函数的单调性，可得：。第10页共10页暨南大学《数学分析II》试卷（A卷）考生姓名：学号：基于此，对充分大的，成立…………3分从而，在区间上，有而积分收敛，故由积分判别法知，级数收敛。由M判别法知，原级数在区间上一致收敛。…………6分2.若数项级数绝对收敛，则

4、数列必为单调有界列.解：此命题错误。有界但不一定单调。不一定单调的反例如下：取，其中则此数列有界1；而故知数列非单调。尽管收敛。…………5分下证有界。任取由于绝对收敛，则由柯西准则，当时，对任何自然数于是故由存在，所以有界。…………6分得分评阅人四、计算题（每小题5分,共45分）第10页共10页暨南大学《数学分析II》试卷（A卷）考生姓名：学号：1.求不定积分.解：对被积函数进行部分分式展开，可得…………2分基于此，我们有其中为任意常数。…………5分2.求定积分.解法一：进行分部积分，可得：解法二：进行分部积分，可得：解法三：进行变量替换则于是，我们有2.讨论

5、无穷积分为绝对收敛还是条件收敛.解法一：对积分进行变量替换可得第10页共10页暨南大学《数学分析II》试卷（A卷）考生姓名：学号：…………2分由此可知，原积分是条件收敛的，而非绝对收敛。…………5分解法二：注意到利用函数在区间上的递减性，及积分的有界性，应用Dirichlet判别法，可知积分收敛；而由可推知原积分不绝对收敛，从而原积分为条件收敛。2.讨论暇积分（为自然数）的收敛性，在收敛的情形下计算积分值.解法一：瑕点只有一个而当时，，故原积分收敛。…………2分此时，作变量替换，则有，满足递推关系:,由此可推知其中。…………5分解法二：作变量替换，则有第10页

6、共10页暨南大学《数学分析II》试卷（A卷）考生姓名：学号：，这是一个普通的定积分，从而收敛；且满足递推关系:,由此可推知其中。解法三：作变量替换，则有这是一个第二型的Euler积分，参数分别为满足定义条件，故原积分收敛，且有2.讨论数项级数的敛散性.解法一：对通项中的积分进行变量替换，则有…………3分从而，故原级数收敛。…………5分解法二：对通项将其与进行比较，应用L’hospital法则，可得第10页共10页暨南大学《数学分析II》试卷（A卷）考生姓名：学号：基于此，可推知：，故原级数收敛。2.求数项级数的和值.解：由于其中…………2分因此，…………5分3

7、.求幂级数的收敛域及和函数.解：利用幂级数的逐项求导性质有：=…………4分对应的收敛域为。…………5分4.将函数在处展开成幂级数，并求数项级数的和值.解：利用幂级数的逐项求积性质，我们有第10页共10页暨南大学《数学分析II》试卷（A卷）考生姓名：学号：…………3分其中收敛域为进一步，取可知所求数项级数的值为：…………5分2.展开函数为Fourier级数，并求数项级数的和值.解：对应的Fourier系数为…………3分于是，所求的Fourier级数为：进一步取则有故…………5分得分评阅人五、证明题（第1、2小题每题6分,第3小题8分,共20分）1.证明：若为上的

8、递减函数，则对任给的恒有第10页共10