08-09学年高等代数II试B答案[1]

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1、北京交通大学2008-2009学年第二学期《高等代数II》期末考试试卷(B)答案与评分标准一、填空题(每小题3分,共30分)1.全体n阶实反对称矩阵,关于矩阵的加法与数乘作成实数域上的线性空间,它的维数等于.2.已知e1=1,e2=x,e3=x2,e4=x3和h1=1,h2=1+x,h3=(1+x)2,h4=(1+x)3是线性空间的两组基,则由基h1,h2,h3,h4到基e1,e2,e3,e4的过渡矩阵是.3.中的向量在基下的坐标是,则在基下的坐标是.4.设矩阵有3个线性无关的特征向量，则=0.5.设欧氏空间V的两组基e1,e2,¼,en与h1,h2,¼,hn的度量矩阵分别是A

2、与B,从基e1,e2,¼,en到h1,h2,¼,hn的过渡矩阵是C,则A与B之间的关系是.第8页共8页6.上线性变换A（其定义为A）的值域的一组基是(1,2)’　　　．核的维数为1　　　．7.以下断言正确的有(A,B)(A)设是n维线性空间的子空间。若，则和是直和；(B)若阶方阵有个不同的特征值，则可以对角化；(C)阶方阵的最小多项式的次数必小于；(D)有限维欧氏空间中保持长度不变的变换一定是正交变换。8.以下集合对于所指的线性运算构成实数域上线性空间的有(B)(A)次数等于3的实系数一元多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；(B)全体阶实对称矩阵,关于矩阵的加法和数量乘法

3、；(C)平面上不平行于轴的向量全体，关于向量的加法与数量乘法；(D)平面上的全体向量，关于向量的加法和以下定义的数量乘法：（零向量）。9.下列变换A中，是线性变换的有(A,B)(A)在中，A；(B)在中，A（；(C)在中，A，其中是n阶单位矩阵；(D)把复数域看作复数域上线性空间，定义A其中是复数的共轭。10.对线性空间R2中以下函数f，不是线性函数的有(B，C，D)(A)f(x1,x2)=4x1+x2log38；(B)f(x1,x2)=x1+4x2+4；(C)f(x1,x2)=x12+x1x2+x22；(D)f(x1,x2)=sinx1+cosx2。第8页共8页二、（12分）

4、记为实数域上3阶方阵全体，则关于矩阵的加法与数乘构成实数域上线性空间。设，令。（1）证明是的一个子空间；（2）求的维数和一组基。解(1)W不空…1分W关于加法、数乘封闭…4分(2)…9分的维数是5，是一组基。…12分三、（12分）在线性空间中定义线性变换为，（1）求在基下的矩阵；（2）求的一组基，使在这组基下的矩阵为对角矩阵，并写出该对角阵。第8页共8页解(1)求在基下的矩阵为…3分（2）A的特征根为1，1，2，2。…..6分对应特征值1，解齐次线性方程组得基础解系…..8分对应特征值2，解齐次线性方程组得基础解系…..10分令则P可逆。于是是基，…..11分且A在该基下矩阵为

5、对角阵第8页共8页…..12分四、（12分）求矩阵的不变因子、最小多项式和Jordan标准形。解…6分不变因子，…7分最小多项式…8分初等因子…10分Jordan标准形是…12分五、（12分）设e1,e2,e3是欧氏空间V的一组基,这组基的度量矩阵是第8页共8页又设a1=e1+e2，(1)证明a1是一个单位向量；(2)求x使a1与b2=e1+e2+xe3正交；(3)把所求出的b2单位化,并记作a2；(4)给出正交补空间的一组基。解(1)(a1,a1)=1…2分(2)(b2,a1)=x+1=0,x=-1.所以b2=e1+e2-e3…6分(3)（b2，b2）=5,,所以…8分(4)

6、是V的一组基，令则是正交补空间的一组基。…12分六、（7分）设是线性空间的一组基，是它的对偶基。记证明也是的一组基，并用表示的对偶基。证（1）因为…2分且矩阵可逆，所以是的一组基…3分第8页共8页记表示的对偶基，则…6分即。…7分七、证明题(每小题5分，共15分）1.设分别是数域上齐次线性方程组与的解空间。证明可表为与的直和。2．设是阶非零方阵，且存在正整数使。证明不能相似于对角阵。3.设是n维欧氏空间一个标准正交向量组。证明关于中任意向量，都有下面的不等式成立：。证明(1)…2分又属于……4分第8页共8页所以可表为与的直和。…5分(2)的最小多项式为，因此不能相似于对角阵。(

7、3)将扩充为V的标准正交基，…1分则关于中任意向量，有下式成立：…3分所以…5分第8页共8页