七、函数奇偶性和周期性——教师版

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1、专题复习：函数的奇偶性和周期性一、函数的奇偶性知识点归纳：1•函数的奇偶性的定义：如果对于函数£&丿定义域内的任意一个x、都有f(-x)二f(x),那么函数O丿就叫偶函数.如果对于函数f“丿定义域内的任意一个都有f(-X)二-f(X),那么函数丿就叫奇函数.2•奇偶函数的性质：(1)定义域关于原点对称；(2)偶函数的图象关于尹轴对称，奇函数的图象关于原点对称；3./(%)为偶函数o/(x)=/(Ixl)；若奇函数/(x)的定义域包含0,则/(0)=0・“f(x)为奇函数”是”f(0)=0”的非充分非必要条件；4•判断函数的奇偶性的方法：(1)定义法：若函数

2、的定义域不是关丁•原点的对甦区间,则立即判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点的对称区间，再判断f(-x)=介丿或幷卞丿=徊是否成判断函数的奇偶性有吋可以用定义的等价形式：/(x)±/(-X)=0,丿型=±1・./(-X)(2)图像法：奇(偶)函数的充要条件是它的图像关于原点(或y轴)对称.5设/(x),g(x)的定义域分别是卩,2,那么在它们的公共定义域上:奇+奇二奇，奇x奇二偶，偶+偶二偶，偶x偶二偶，奇x偶二奇.应用举例1、常见函数的奇偶性：奇函数：y-ax(a为常数)，y=sinx,=tanx,y=—伙为常数)(a为常数)，y

3、=cosx偶函数：y=Q(d为常数)，0=0吋既为奇函数又为偶函数y=ax2(aH0),y=ax2+c(aHO),y=

4、ar

5、非奇非偶函数：y=kx+b(b0),y=ax2+4-c(b0),y=ax+c

6、(c*/0),ky=(cH0),尹=av(q>0,aH1)，y=logr/兀(a>0,aH1)x+c既奇又偶函数：y=02、对奇偶性定义的理解例1下面四个结论：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=O(xWR),其屮正确命题的个数是()A.12C.3D.4分析：偶函

7、数的图象关于y轴对称，但不一定相交，因此③正确，①错误;奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过原点，因此②不正确;若yhQ既是奇函数，又是偶函数，由定义可得f(x)=O,但不一定/&斤，故④错误，选A.练习：1、/(x),M(x)是定义在R上的函数，也(x)=/(x)+g(x),贝ij"/(%),SW均为偶函数”是“加兀)为偶函数”的BA.充要条件B.充分而不必要的条件C.必要而不充分的条件D.既不充分也不必要的条件解析:•・7(x)、g(x)均为偶函数,•*•./(—x)=/(x),g(—x)=g(x).・：h{—x)+g(—x)=/(x)+g(x)=/

8、7(x)./.h(x)为偶函数.但若/?(—x)=/?(x),即/(-x)+g(—x)=/(x)4-g(x),不一定./(—x)=/(x),g(—x)=g(x),例/(x)=x2+x,g(x)=—X.22、设/(x)=lg(匸7+")是奇函数，则使f(x)VO的兀的取值范围是AA.(-1,0)B・(0,1)C.(・8,0)D.(・8,0)U(1,+8)解析:・・7(兀)为奇两数,・・・/(o)=o.解之,得1.2v+a•J(x)=lg.1=x1+x令ZU)VO,则OV匸；＜l,・・・xW(—1,0).3、已知函数解析式，判断或证明函数的奇偶性例2判断卜-列

9、函数的奇偶性(l)/(x)二x'+x⑵/(x)=3x4+6x2+a(1)/(x)=3x+l(4)/(x)=x2,xW[・4,4),(5)y二sinx+1例3判断下列各函数的奇偶性:(1)f(x)=(x-l)^~V1-x(2)fM=lg(l—^)Ix2-2I-2解：(1)由得定义域为关于原点不对称，・・・/'⑴为非奇非偶1-X函数.(2)由F丁>0得定义域为(_1,O)U(O,1),[lx2-21-2^0(~x)x~=/(X)・・・/(X)为偶函数练习：]、判断函数f(x)解：由题的奇偶性函数的定义域为[—1,0)U(0,1]此时f(x)=故f(X)是奇函数

10、4、抽象函数奇偶性的判定与证明例4•已知函数/(兀)对一切x,yeR,都有/(x+y)=/(%)+f(y),(1)求证:/(x)是奇函数；(2)若/(-3)=°,用a表示/(12).解：(1)显然/⑴的定义域是/?,它关于原点对称.在/(x+y)=/(x)+/(y)中,令y=-x,得/(0)=f(x)+/(-x)，令x=y=09得/(0)=/(0)+/(0)，/./(0)=0,・・・/(x)+/(—X)=0,即f(-x)=一/⑴，・・・/(%)是奇函数.(2)由/(-3)=a,/(x+y)=/(x)+f(y)及/(x)是奇函数，得/(12)=2.门6)=4

11、/(3)=-4/(-3)=一牝.例5・设了(刃是R上的任意函数,下