函数的奇偶性与周期性(教师版)

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1、预习讲义2.5函数的奇偶性和周期性知识梳理1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f3的定义域内任意一个x,都冇f(一处=代处,那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个X、都有A-^)=-/(%),那么函数fd)是奇函数关于原点对称2.周期性(1)周期函数：对于函数尸如果存在一个非零常数7；使得当/取定义域内的任何值时，都有fd+7)=fa),那么就称函数y=fx)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小止周期：如果在周期函数fg的所冇周期中存在一个最小的正数,那么这个授小正数就叫做代劝的最小正周期.

2、课前训练1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)(1)函数f(x)=0,xW(0,+8)既是奇函数乂是偶函数.(X)(2)若函数是偶函数，则函数y=f{x)关于直线/=自对称.(V)(3)若函数y=f{x+Z?)是奇函数，则函数y=f{x)关于点(也0)中心对称.(V)Y(4)若函数f3=—¥_2—为奇函数，则曰=2.(V)⑸函数fd)在定义域上满足f{x+a)=-f{x),则fd)是周期为2臼@>0)的周期函数.(V)(6)函数f(x)为R上的奇函数，Jlf(x+2)=fa),则A2014)=0.(V)2.已知函数fd)为奇函数，且当Q0时，

3、/(%)=/+-,则A-1)等于.X答案一2解析f(—1)=—f(l)=—(1+1)=—2.3.已知f{x)=ax+bx是定义在［臼一1,2曰］上的偶函数，那么a+b的值是.答案I解析依题意0=0,且2&=—($—1),贝ija+b=g.1.已知f(x)在R上是奇函数,且满足f(卄4)=f(0,当用(0,2)时,f(A)=2/,则f(2015)等于•答案一2解析・・・£匕+4)=£(方，・・・fU)是以4为周期的周期函数，・"(2015)=f(503X4+3)=f(3)=f(-l).又fd)为奇函数，.f(-l)=-f(l)=-2X12=-2,即f(201

4、5)=-2.2.设函数H方是定义在R上的奇函数，若当圧(0,+8)时，/、(0=lg兀则满足Ax)>0的/的取值范围是.答案(一1,O)U(1,+s)y解析画草图，由fd)为奇函数知：fd)〉o的才的取值范围为(一1,0)U(1,+8).2.5函数的奇偶性和周期性例题精讲【例1)判断下列函数的奇偶性:(1)f{x)=寸9_”+y]x—9；⑵心)=(卄1)(3)f(A)=y)4—女"+3

5、—3・思维启辿判断函数的奇偶性吋，必须先判定函数定义域是否关于原点对称•若对称，再验证/■(—X)=±/*(%)或其等价形式—±<(A-)=0是否成立.(1)由'9—,20,

6、-930,得^=±3.・•・f(x)的定义域为{-3,3},关于原点对称.乂f(3)+f(—3)=0,A3)-A-3)=0.即f(x)=±f(—x).・・・£匕)既是奇函数，乂是偶函数.(2)由,得一1X1.1+/H0・・・fd)的定义域(-1,11不关于原点对称.・・・代方既不是奇函数，也不是偶函数.(3)III4-/^0」x+3

7、—3H0•••Ztr)的定义域为[-2,0)U(0,2],关于原点对称.—/—/x+3—3x：•f(x)=~f(—x),Af(x)是奇函数・【例2】⑴心)为R上的奇函数，当兀>0时，/U)=—2”+3x+l,求/U)的解析式.⑵

8、已知曲是定义在R上的偶函数，并卄（卄2）一当2GW3时，心）=/,则A105.5)=.解析⑴当兀V0时，一无>0,贝IJ/(_%)=_2(_兀)2+3(—x)+1=—2”_3兀+1.由于7U)是奇函数，故/(兀)=一/(—力，所以当XVO时，/U)=2?+3x-l.因为7U)为r上的奇函数，故夬o)=o・‘一2/+3兀+1,兀>0,综上可得几0的解析式为沧)=<0,兀=0,、2,+3兀一1,x<0.(2)由已知,可得Ax+4)=/tU+2)+2]11=_f龙+2~fx故函数的周期为4.AA105.5)=f(4X27—2.5)=f(-2.5)=f(2.5).・

9、・・2W2.5W3,由题意，得f(2.5)=2.5.AA105.5)=2.5.【例31（1）已知奇函数/V）在定义域（一1,1）内是减函数，则满足+f（l—力）＜0的实数刃的取值范围为.答案（0,1）解析f（l—/Z?）＜—f（l—/〃2）,_1＜1_冰1,于解得0＜/zKl.⑵设定义在［-2,2］.h的偶函数/U）在区间［0,2］上单调递减，若Xl-m）＜Xm）,则实数m的取值范围是・解析••7U)是偶函数，•••/(-x)=fix)=Xkl)«・•・不等式Al-m)

10、l一m)又当无€[0,2]时，/U)是减函数.\-m>m,・••

11、<一2W1-加W2,解得一1W//7V*、一2SW2