电磁场原理习题与解答(第1章)

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1、习题1-1利用两矢量点积定义式A-B=ABcosO2在鸟上的分量如图1-3已^f(x)=3r2+4lnr+-^=,求Yf解:应用SZ合微分求导的原则将位置矢量/•看作小间变量V/=/,Vr=3r2+4Inr+42亍°—;=(6厂+)—=(6+4尸一2厂3)r「Vr7r注:在直角坐标中:r=xex+yey+zez1-4求/(x,y,z)=x2yz+4xz2在P(l,-2,-1)处沿A=2乙一可•一2乙方向的方向导数解：Vf=^ex+^e+^e2=(2xyz+4z2)ex+x2zey+(巧+8xz)ez(1)oxdydz_又P(l-2-l),把P

2、点代入式(1)得:&faBz弓(2xyz+4z2)ex+x2zey+(x2y+8xz)ez=Sex—ev—10ez因为:_A2耳-兀-2ez2ex-eY-2ezeA=—=1—=:zAJ4+1+432ex—ev—2乙37所以：W•乙=(8乙—可‘TO乙八一=牙1-5试求空间曲面/y+2兀z=4在点P(2,-2,3)处的法向单位矢量解：将空间曲面看成是函数值为4的等值面，点戶(2,-2,3)在该曲面上，因此可设该函数为/(X,y,z)=xy+2xz因为函数的梯度与等值面垂直，所以先求出该函数的梯度，则(1)YU学乙+m+嬰互二3+2z忌+代+2逐

3、dxoydz把p点代入式(1)得函数在该点处的梯度：=(2xy+2z)ex+x2ey+2xer=-2ex+4ey+4ez>p~PV/1=(^e+监+监、「-2ex+4ey+4ez-乙+2gy+2乙74+16=16门"IArxdyydz21-6己知F{x,y,z)=x2zex-2y3z2ey+xy2zezt求点(1,-1,1)处的V•F解：V•F-6y2z2xy2単+垒+dxdy=2-6^1=-3p1-7欲使F(x,y,z)=(x-3yk+(y-2z)£y+(x+dz)匕的散度为零，试问常数o应为何—3FBFdF:要使VeF=0即花』+花丄+寸

4、=0,又=兀一3儿巴・二y—2z,尺=x^az分dxdydz别求偏导并代入得：l+l+Q=0解得：61=-21-8已知戶(兀,y,z)=亦2-2"2yz&.+x2yz4耳，求点处的VxF解：首先求出函数F的旋度;VxF=exd_dxFxeyadyezdFz=(学-字层+(学-学心呼+学忌dydzdzdxoxdy(2xz4+2兀+(3兀z?-2yz4)ey+(-4xyz-0)eVxF(i，-u)+2x2yjex4-(3xz2-2yz4^ey4-(-4xyz-6)e=5ev+4乙(II)〉21-9已知F(%,y,z)=3xy孔—护兀，试求F沿曲

5、线j=2x2由点用(0,0)至P2(1,2)的线积分解:设x=t,y=2t29则dx=dt,dy=4tdtfte[0,1],又：dl=dxex+dyey所以：F•dl=(3xyex-y2ev)•(cbcex+dyeY)=3xydx-y2dy=(6r3-16广)dtrPii—flqV3.8<17所以：~F^dl=f(6r3-16r5)^=-?--r6bJ。23061-10已知f(x,y,z)=2xyz2,F(x,j,z)=xyex-zey+x2ez,试就参数方程x=ty=2t,z=t3(0

6、线积分：(1)[fell(2)(戶xd7解：(1)x=t2,y=2t,z=t3dr=2tdt,dy=2dt,dz=t2dt:.^fdl=^419(2tdtex+2dtey+3t2dte2)=(8tJ0ex-h8t9ey12t]1ez)dt(2)•/F=xyex-zev+x2e7=2t3ex一t3ev+代ayzay厶dl=dxex+dyey=dzez=2tdtex+2dtex+3t2dtezFxdl=FxdxFz=(一3八一2广)dtex-4t5dtey+(4戶也+2t4dt)e:dz(-3t5-2t4)ex-4t5ey+(4t3+2t4)乙]

7、力9一2一7一10x3y5V#赵g+vj£+(—2)宀.rrr1-12对于标量场/（；）和g（；）,试证明:(1)Vx(/V/)=O⑵V所以左式=右式原题得到证明。1-13试计算(1)V2lnr解:V2lnr=V•Vlnr=V•-Vr(^)=/V2g+gV7+2V/

8、v2g+vgv/+gv?/=yv2g+gv2/+2vgvy⑵V2[Ve(4)]r解：利用上题的结果7・因此1-15判断下列两矢量场各自属于哪种类型：(1)F=(6