电磁场与电磁波 第1章习题解答

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1、第一章习题解答【习题1.1解】【习题1.2解】【习题1.3解】已知（1）要使，则须散度所以从可得：即只要满足3b+8c=1就可以使向量和向量垂直。（2）要使，则须旋度所以从可得b=-3，c=-8【习题1.4解】已知，，因为，所以应有即⑴又因为;所以；⑵由⑴，⑵解得【习题1.5解】由矢量积运算规则取一线元：则有则矢量线所满足的微分方程为或写成求解上面三个微分方程：可以直接求解方程，也可以采用下列方法（1）（2）由（1）（2）式可得（3）（4）对（3）（4）分别求和所以矢量线方程为【习题1.6解】已知矢量场若是一个无源场，则应有div=0即：div=因为所以有div=az+2x+b+2xy+1-2

2、z+cx-2xy=x(2+c)+z(a-2)+b+1=0得a=2,b=-1,c=-2【习题1.7解】设矢径的方向与柱面垂直，并且矢径到柱面的距离相等（r＝a）所以，【习题1.8解】已知,而又所以+=【习题1.9解】已知所以由于场的旋度处处等于0，所以矢量场为无旋场。【习题1.10解】令ln()=C,=，=1+4+9=14因此C＝ln14＝14为等值面方程【习题1.11解】求函数=在点M(2,3)处沿曲线y=朝x增大一方的方向导数解:在L取一点(x,y)y=-1()沿L的方向的方向余弦为:c因为则(x,y)(2,3)所以又因为=【习题1.11解2】求函数=在点M(2,3)处沿曲线y=朝x增大一方

3、的方向导数曲线y在M点沿所取方向的切线斜率为：所以因此，方向余弦为所以所求的方向导数为【习题1.12解】标量场该标量为一个以直角坐标系的O点为球心的球面求切平面的方程该平面的法线向量为根据平面的点法式方程，得平面方程为整理，得：【习题1.13解】【习题1.14解】矢量的方向余旋为满足题意方向导数：【习题1.15解】【习题1.16解】所以【习题1.17解】【习题1.18解】（1）证明（+）=（++==（+（=得证(2)==+==得证【习题1.19解】【习题1.20解】已知所以【习题1.21解】【习题1.22解】证明：令则左边==又由题得==同理有=故等式右边=—=—=故左边=右边，得证【习题1.

4、23解】【习题1.24解】证毕。【习题1.25解】由题意可知：左===+]==+=即证【习题1.26解】（1）解：=－sinxsiny＝－sinxsiny=sinxsiny＋＝；＋＋＝－（＋－）sinxsiny＝0；满足拉普拉斯方程。（2）解：在圆柱形坐标中，拉普拉斯算子可表示为：＝－＝＝0；＝0；满足拉普拉斯方程；【习题1.27解】【习题1.28解】【习题1.29解】【附】Page14，圆柱坐标系中的散度的推导。在圆柱坐标系中div＝∴（注：式中推导利用了）