第3节：函数的值域

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1、形如〉，=妙2（兀）+纱（兀）+c（qho）的函数常用配方法求函数的值域，耍注意fd）的取值范M.一是求闭区间［加,切上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系），例］.（1）求函数y=x2-2x+5,xe［-l,2］的值域（答：［4,8］）；（2）.求函数尸,+2丹3在下面给定闭区间上的值域:①［-4,-3］;②［-4,1］;③［-2,1］;④［0,1］.例2•当（0,2］时，函数f（x）=ax2+4（a+l）x-3在兀=2时取得最大值，

2、则Q的取值范圉是（答：a>-丄）；—2例3.已知/（x）=3”"（2

3、/-*（%）］2-厂（F）的值域为（答：［2,51）（二丿换見该通过代数换元法，把无理函数、指数函数、对数函数等超越函数转化为代数函数来求函数值域的方法（关注新元范围）。例1.y=x^-^12—x2（答：［―V2,V2］）例2.y=2x+l+JR的值域为（答：（3,+oo））（令J7二7二/r>0o运用换元法时，要特别要注意新元t的范围）；例3.y=x—V-V—1（答：［—,4-oo））4例4.〉，二兀+4+丁9-扌的值域为_（答：［1,

4、3血+4］）；（三丿製形m当函数的解析式明显具备某种几何意义，像两点间的距离公式、直线斜率等时可考虑用数形结合法。例］.（1）y—x-l+x+4

5、（答：［5,+8】）（2）・〉‘=丁2兀2—6兀+9+丁2兀2—10兀+17;（答：［2V5,+oo）⑶.若X+y2=i,求兀+）,的取值范围（答：［_","］）（4）.若x+y=l,求疋+b的取值范围（答：［丄,+oo））例2.己知点Pgy）在圆x2+/=l±,求」^及y-2x的取值范围（斜率、截距）x+2例3・求函数y=J（x_2）2+J（x+8）2的值域（答：［10,+oo））;例4.求函数y=yjx

6、1-6x4-134-Vx2+4x+5及y=厶?-6兀+13-J兀？+4x+5的值域（答：［临,+oo）、（-726,726））注意：求两点距离之和时，要将函数式变形，使两定点在兀轴的两侧,而求两点距离之差时，则要使两定点在x轴的同侧。（四丿利用禽製的槌质主要适用于(1)y=ax+/?+Jcx+d（ac>0）形式的函数⑵利用基本不等式不能求得丁=兀+£伙>0）的最值（等号不成立）时。（3）利用基本函数的单调性例1.求下列函数的值域(1)y=Vl-2x-x(答：[-—,-H>o))2(3)y—V-V+3—V%(答：(0,V^])4(2))；=x+-(0<

7、x

8、丄］）；（2）求函数y二的值域（答：［0,丄］）-1+F2兀+32例3.己知函数y=log.〃讨皿+"的定义域为R,值域为［0,2］,求常数m,n的值（答：m=几=5）兀厶+1x+兀+[例4.y二一-—的值域(答：(-oo,-3]U[l,+oo))x+1例5.y=厂兀的值域（答：［1一聲3,1+爹］）x+兀+133要注意满足条件"一正、二定、三等”。利用基本不等式a+b>2y/^(a.beR+)()求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。9r例】.⑴尸片停H,1P丁2_

9、OyI气(2)y=“仏〉1)(答:[4,+oo))x-1(七丿导製號一般适用于高次多项式函数例1.求函数/(x)=2x3+4x2-40x,xg[-3,3]的最小值。(答：-48)4例2.y=x+—(xg[1,4])(答：[4,5])x例3.y=—5%4++2,x€[—1,2](答：[・9,3])练习题：1、求函数值域⑴f(x)=2x+Jx-3(2)f(x)=2x-Vx-3(3)f(x)=

10、x

11、+2

12、x

13、-lf(x)=x~—2x+2x2+l(5)y=x+Jl—兀■(答：[—1,V^])(6)y=

14、x+l

15、+J(x_2)2(答：[3,+oo))1+2V2

16、2-,+oo))⑻y=J兀2+4+J(兀+1尸+9(答：[極,+呵)2.已知F+y2=］6.求兀2一｝,2的