定积分计算法

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1、一、定积分计算基本方法1、牛顿—莱布尼兹公式：2、定积分的换元法：设10在[上连续，20，30在[上连续，则。　　　　　　注：条件3书上用较强的条件在[上连续且当时，的值域不超出来代替。实际上代换的值域可以超出，如上图。　　3、定积分的分部积分法：注意事项：1、被积函数含绝对值记号。例1：解：当；当。　　（分界点x=1处）例2：解：例3：解：　　　　　　　　　　2、广义积分有推广的牛顿－莱布尼兹公式（1）如果在上连续，,原函数在上连续，则仍有7（2）如果在上连续，的原函数适合存在记为则仍有。例1：计算解：①　当时，在上，。②　当时，是广义积

2、分。或者用推广的牛顿－莱布尼兹公式。③　当时，=。例2：解：。3、应用换元法时注意换元条件在上连续可导。有些不定积分的换元技巧在定积分的计算中失效。定积分由于积分区间的限制，求定积分不仅仅是求原函数问题。例1：分析：若令，而，在间断。解：=+7=+=+=。例2：分析：若令，在间断。解法一：（令=（令）=解法二：==+]=+]（第一个积分令，第二个积分令）=注：三角函数周期是而不是2时，常用代换而不用半角代换。例3：解：令时取，时取。==注：时若取，时取，则[]包含了（分母为0），所以不能这样取。同理，也不能取。但可以如下解7==（注意：在上

3、。）4、改变被积函数在某一点的值不影响积分值。例：设　，求解：因在[0，3]上有界，且只有一个第一类间断点，所以存在。，而在上连续，故。对于，若修改定义,则在[1,3]上也连续，且，故。所以＝+。二、间接计算法（不直接求原函数而计算定积分）1．定积分的几何意义例：(1)（原函数不容易求出，但几何意义明显）(2)(3)2．对称性(1),7(2),,(3),.例1：已知，求Fourier系数.解:(具体计算).或者考虑到为奇函数,　.例2：解:或者利用对称性,被积函数为偶函数,故-.例3：解：.3．三角函数积分的特定变形(1).(2).例1:I

4、=解：因I==，故2I=，I=。注：类似的例子如I=（作代换，I=等。7例2：I=解：因I==，故2I===.所以I=.4、重要积分公式===例1：解：令，则===4.例2：求与轴所围成弓形绕轴旋转得到的旋转体体积。解：==（升幂）=====.5、循环积分7（1）（2）例：I=解：令则I===所以，.7