第三章 期权价格的性质

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1、第三章期权价格的性质在第一章里，我们定性地讨论了期权价格的性质。我们不但描述了影响期权价格的各种因素，而且讨论了在各种情况下期权的支付。在这一节里，我们将应用无套利原理严格证明欧式期权价格的一些重要的性质。需要强调的是，我们并不对标的资产的未来价格的分布作任何假设。我们不妨假设标的物为某种股票，其在时间的价格为，期权的执行价格为，到期日为一期，即，，无风险利率为（或者），按离散或者连续方式计算复利。我们以分别表示欧式看涨、美式看涨、欧式看跌、美式看跌期权在时间的价格。1．期权价格的上、下界由第一章内容，期权价格受标的股

2、票的价格、执行价格、标的股票的价格的方差、到期日、无风险利率和到期日之前标的资产的预期红利六种因素的影响。1.1上界美式或者欧式看涨期权的持有者拥有以一定价格购买一份股票的权利，所以在任何情形下，期权的价值不会超过标的股票的价格否则，买入股票，卖空看涨期权就能获得套利机会。例子：看涨期权的价格永远不会超过标的股票的价格。即使执行价格为零，期权永远不到期，期权的价格也至多为。甚至在这种极端情形下，期权的价格也可能比标的股票的价格低，因为股票有选举权，而期权没有。美式或者欧式看跌期权的持有者拥有以执行价格购买一份股票的权利

3、，所以在任何情形下，期权的价值不会超过对欧式看跌期权而言，我们知道它在到期日的的价格不会超过，所以否则，卖出期权，投资在无风险利率，获得套利例子：1.2以不支付红利股票为标的物的欧式期权价格的下界我们在这里仅仅关注标的股票的价格和执行价格的影响，所以，我们可以把看涨期权在时间的价格写成，。下面，我们讨论第一条性质。性质1：(1)当期权被执行的概率严格位于0和1之间时，即，在到期日，股票价格大于执行价格的概率严格位于0和1之间，上述不等式严格成立。证明：我们证明严格不等式。考虑如下的策略：卖空一份标的股票，买一份欧式看涨

4、期权，再以无风险利率借出。该策略的初始成本为，到期日的支付为：当时。因为策略的期末支付是非负的，且严格为正的概率大于0，所以，由无套利原理，初始成本也应该严格大于零。即有，>0。这个不等式等价于。(2)最后，因为期权的持有者只有买标的物的权利而没有必须买的义务，所以期权的价格是非负的。又因为假设期权被执行的概率严格位于0和1之间，所以期权的价格严格大于零，即，。这个式子与(2)式结合起来，得到我们需要的结果。#注：（1）在性质1中，我们是针对时间0的价格讨论的，该性质对到期日以前的任何时间均成立，只需把(1)式中角标由

5、0换成，并对执行价格的折现作相应的修改。（2）通过类似的方法，我们可以得到以不支付红利股票为标的物的欧式看跌期权价格的下界为。这个性质的直观意义在于，如果在期末必须以价格买一份股票，这种义务的现值为。当股票价格小于执行价格的概率严格位于0和1之间时，不买股票的权利的价值严格大于零。因此，欧式看涨期权的的价格严格大于。另一方面，由于期权被执行的概率是严格正的，所以，。例子：欧式看涨期权假设标的股票的价格为55元，执行价格为50元，期权三个月到期，三个月的简单利率为8.9%，在这3个月内，股票不支付红利，求欧式看涨期权价格

6、的下界，如果期权的价格为4元，如何构造套利机会。例子：欧式看跌期权3个月到期的欧式看跌期权，执行价格为50元，股票价格为45元，三个月的简单利率为8.9%，在这3个月内，股票不支付红利，求欧式看跌期权价格的下界，如果期权的价格为3元，如何构造套利机会。性质2：欧式看涨期权的价格是其执行价格的凸函数，即，(3)这里，，。当的概率严格正时，上式中的严格不等式成立。证明：考虑如下的策略：买入份以为执行价格的欧式看涨期权，买入份以为执行价格的欧式看涨期权，卖空一份以为执行价格的欧式看涨期权。这个策略在时的成本为。不失一般性，假

7、设。这个策略在到期日的支付为：0如果，如果，如果，0如果，在任何情况下，支付均为非负的。因此，由无套利原理有：这即为(3)式。当的概率严格正时，(3)式中的严格不等式成立。#注：我们可以证明欧式看涨期权的价格是其执行价格的减函数，从而，欧式看涨期权的价格是其执行价格的单调递减的凸函数。例子：在实际中，投资者投资的期权不但可以以单个证券为标的物，也可以以上市证券形成的证券组合为标的物。另外，投资者还可投资在期权形成的证券组合上。下面，我们比较两种投资方式所需要的成本。性质3：假设有种证券，以这种证券为标的物构成种欧式期权

8、，它们具有相同的执行价格。以这种证券的凸组合为标的物，以为执行价格的期权的价格比前面的种欧式期权以同样的权形成的证券组合的价格低，即，这里，，，，而是以种证券的凸组合为标的物，以为执行价格的期权的价格。证明：以种证券的凸组合为标的物，以为执行价格的期权的终端支付为：。因为是的凸函数，由Jensen不等式得到：。而上述不等式的右端正