衍生证券定价理论第三章期权价格的性质

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1、第三章期权价格的性质在第一章里，我们定性地讨论了期权价格的性质。我们不但描述了影响期权价格的各种因素，而且讨论了在各种情况下期权的支付。在这一节里，我们将应用无套利原理严格证明欧式期权价格的-•些重要的性质。需要强调的是，我们并不对标的资产的未来价格的分布作任何假设。我们不妨假设标的物为某种股票，其在时间汀KJ价格为S「期权的执行价格为K,到期H为一•期，即，7=1,无风险利率为匸（或者厂），按离散或者连续方式计算复利。我们以C,C，p『,P（分别表示欧式看涨、美式看涨、欧式看跌、美式看跌期权在时间门的价格。1.

2、期权价格的上、下界由第一章内容，期权价格受标的股票的价格、执行价格、标的股票的价格的方差、到期H、无风险利率和到期日之前标的资产的预期红利六种因素的影响。1.1上界美式或者欧式看涨期权的持冇者拥冇以一定价格购买一份股票的权利，所以在任何情形下，期权的价值不会超过标的股票的价格qSS,cr

3、举权，而期权没有。美式或者欧式看跌期权的持有者拥有以执行K价格购买一份股票的权利，所以在任何情形下，期权的价值不会超过Kptmax+当期权被执行的概率严格位于（）和1之间时，即，在到期日，股

4、票价格S?•人于执行价格K的概率严格位于0和1之间，上述不等式严格成立。证明：我们证明严格不等式。考虑如下的策略：卖空一份标的股票，买一•份欧式看涨期权，再以无风险利率zy借出该策略的初始成本为c°（S°,K）-So+K/（1+I，到期日的支付为：Sr-K-ST+K=0-St+K>0为S『'KSr

5、）最后，因为期权的持有者只有买标的物的权利而没有必须买的义务，所以期权的价格是非负的。乂因为假设期权被执行的概率严格位于0和1之间，所以期权的价格严格大于零，即，c°（So，K）＞O。这个式子与（2）式结合起来，得到我们需要的结果。#注：（1）在性质1中，我们是针对时间0的价格讨论的，该性质对到期H以前的任何时I'可均成立，只需把（1）式小角标由0换成『，并对执行价格的折现作相应的修改。（2）通过类似的方法，我们町以得到以不支付红利股票为标的物的欧式看跌期权价格的下界为KmaxS（）,0o_1+r/_这个性质的直

6、观意义在于，如果在期末必须以价格K买一份股票，这种义务的现值为So-%+屮。当股票价格》小于执行价格K的概率严格位于0和1之间时，不买股票的权利的价值严格人于零。因此，欧式看涨期权的的价格严格人于风-%+?。另一方而，由于期权被执行的概率是严格正的，所以，c、o（So，K）＞（）。例子：欧式看涨期权假设标的股票的价格为55元，执行价格为50元，期权三个月到期，三个月的简单利率为8.9%,在这3个力内，股票不支付红利，求欧式看涨期权价格的下界，如果期权的价格为4元，如何构造套利机会。例子：欧式看跌期权3个月到期的欧

7、式看跌期权，执行价格为50元，股票价格为45元，三个月的简单利率为8.9%,在这3个刀内，股票不支付红利，求欧式看跌期权价格的下界，如果期权的价格为3元，如何构造套利机会。性质2：欧式看涨期权的价格是其执行价格的凸函数，即，g(Sf,K)+(l-a)0(»斤)斤)(3)这里，F=gK+(1-g)斤，“(0,1)。当Syw(K,斤］的概率严格正吋，上式中的严格不等式成立。如果SrSK,如果KK,因此，由无套利原理有：证明：考虑如下的策略：买入Q份以K为执行价格的欧式看涨期权

8、，买入1-a份以斤为执行价格的欧式看涨期权，卖空一•份以斤为执辽价格的欧式看涨期权。这个策略在r(r<1)Ot的成本为％(S,,K)+(l-Q)c,(S/,g)-C/(®,斤)。不失一般性，假设K>K.这个策略在到期H的支付为：0a(ST-K)>0(l-a)(K-ST)>00在任何情况下，支付均为非负的。cxcf(St,K)+(S-a)ct(St,k)-ct(St,K)>