2018_2019学年高中数学第一讲不等式和绝对值不等式一1.不等式的基本性质教案（含解析）新人教a版

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1、1．不等式的基本性质1．实数大小的比较(1)数轴上的点与实数一一对应，可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的大小．在数轴上，右边的数总比左边的数大．(2)如果a－b＞0，则a＞b；如果a－b＝0，则a＝b；如果a－b＜0，则a＜b.(3)比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们的差a－b的符号；比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差的符号．2．不等式的基本性质由两数大小关系的基本事实，可以得到不等式的一些基本性质：(1)如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b.即a＞b⇔b＜a.(2)如果a＞b，b＞c，那么a＞c.即a＞b，b

2、＞c⇒a>c.(3)如果a＞b，那么a＋c>b＋c.(4)如果a＞b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么acb>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．(6)如果a>b>0，那么(n∈N，n≥2)．3．对上述不等式的理解使用不等式的性质时，一定要清楚它们成立的前提条件，不可强化或弱化它们成立的条件，盲目套用，例如：(1)等式两边同乘以一个数仍为等式，但不等式两边同乘以同一个数c(或代数式)结果有三种：①c＞0时得同向不等式；②c＝0时得等式；③c<0时得异向不等式．(2)a＞b，c＞d⇒a＋c>b＋d，即两个同向不等式可以相加，但不可以相减

3、；而a>b>0，c>d>0⇒ac>bd，即已知的两个不等式同向且两边为正值时，可以相乘，但不可以相除．(3)性质(5)、(6)成立的条件是已知不等式两边均为正值，并且n∈N，n≥2，否则结论不成立．而当n取正奇数时可放宽条件，a>b⇒an>bn(n＝2k＋1，k∈N)，a>b⇒>(n＝2k＋1，k∈N＋)．(4)在不等式的基本性质中，条件和结论的逻辑关系有两种：“⇒”与“⇔”，即推出关系和等价关系，或者说“不可逆关系”与“可逆关系”．这要求必须熟记与区别不同性质的条件．如a＞b，ab＞0⇒＜，而反之不成立．数、式大小的比较[例1]　已知p，q为正数且p＋q＝1，比较(px＋

4、qy)2与px2＋qy2的大小．[思路点拨]　利用作差法比较两数的大小，并注意等号成立的条件．[解]　(px＋qy)2－(px2＋qy2)＝p2x2＋2pqxy＋q2y2－px2－qy2＝p(p－1)x2＋q(q－1)y2＋2pqxy.因为p＋q＝1，所以p－1＝－q，q－1＝－p.所以(px＋qy)2－(px2＋qy2)＝－pq(x2＋y2－2xy)＝－pq(x－y)2.因为p，q为正数，所以－pq(x－y)2≤0.所以(px＋qy)2≤px2＋qy2.当且仅当x＝y时，不等式中等号成立．比较两个数(式子)的大不，一般用作差法，其步骤是：作差—变形—判断差的符号—结论，其

5、中“变形”是关键，常用的方法是分解因式、配方等．1．已知a，b∈R，比较a4＋b4与a3b＋ab3的大小．解：因为(a4＋b4)－(a3b＋ab3)＝a3(a－b)＋b3(b－a)＝(a－b)(a3－b3)＝(a－b)2(a2＋ab＋b2)＝(a－b)2≥0，(当且仅当a＝b时，取“＝”号)所以a4＋b4≥a3b＋ab3.2．已知x，y均为正数，设m＝＋，n＝，试比较m与n的大小．解：m－n＝＋－＝－＝＝，∵x，y均为正数，∴x>0，y>0，xy>0，x＋y>0，(x－y)2≥0，∴m－n≥0，即m≥n，当且仅当x＝y时取等号．不等式的证明[例2]　已知a>b>0，c

6、0，e<0.求证：>.[思路点拨]　可以作差比较，也可用不等式的性质直接证明．[证明]　法一：－＝＝，∵a>b>0，c0，c<0，∴a－c>0.同理b－d>0，∴(a－c)(b－d)>0.∵e<0，∴>0.即>.法二：⇒⇒＞.进行简单的不等式的证明，一定要建立在记准、记熟不等式性质的基础之上，如果不能直接由不等式的性质得到，可以先分析需要证明的不等式的结构，利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件．3．设a>b>0，求证：>.证明：法一：∵－＝＝>0，∴原不等式成立．法二：∵a>b>0，故a2>b2>

7、0.故左边>0，右边>0.∴＝＝1＋>1.∴原不等式成立．4．已知a>b>0，d>c>0，求证：>.证明：因为d>c>0，所以>>0.又因为a>b>0，所以a·>b·，即>.利用不等式的性质求范围[例3]　已知30