2018_2019学年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式三排序不等式讲义含解析新人教a版

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1、三排序不等式1．顺序和、乱序和、反序和设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn为b1，b2，…，bn的任一排列，称a1b1＋a2b2＋…＋anbn为这两个实数组的顺序积之和(简称顺序和)，称a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1为这两个实数组的反序积之和(简称反序和)．称a1c1＋a2c2＋…＋ancn为这两个实数组的乱序积之和(简称乱序和)．2．排序不等式(排序原理)定理：(排序原理，又称为排序不等式)　设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn为b1，b2，…，bn的任一排列，则有a1bn＋a2b

2、n－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn，等号成立(反序和等于顺序和)⇔a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn.排序原理可简记作：反序和≤乱序和≤顺序和．[点睛]　排序不等式也可以理解为两实数序列同向单调时，所得两两乘积之和最大；反向单调(一增一减)时，所得两两乘积之和最小．[例1]　已知a，b，c为正数，且a≥b≥c，求证：＋＋≥＋＋.[思路点拨]　分析题目中已明确a≥b≥c，所以解答本题时可直接构造两个数组，再用排序不等式证明即可．[证明]　∵a≥b>0，于是≤，又c>0，从而≥，同理≥，从而≥≥.又由于顺序和不

3、小于乱序和，故可得＋＋≥＋＋＝＋＋≥＋＋＝＋＋＝＋＋.∴原不等式成立．利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组．1．已知0<α<β<γ<，求证：sinαcosβ＋sinβcosγ＋sinγ·cosα>(sin2α＋sin2β＋sin2γ)．证明：∵0<α<β<γ<，且y＝sinx在为增函数，y＝cosx在为减函数，∴0cosβ>cosγ>0.∴sinαcosβ＋sinβcosγ＋sinγcosα>sinαcosα＋sinβcosβ＋sinγco

4、sγ＝(sin2α＋sin2β＋sin2γ)．2．设x≥1，求证：1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn.证明：∵x≥1，∴1≤x≤x2≤…≤xn.由排序原理得12＋x2＋x4＋…＋x2n≥1·xn＋x·xn－1＋…＋xn－1·x＋xn·1即1＋x2＋x4＋…＋x2n≥(n＋1)xn.①又因为x，x2，…，xn,1为1，x，x2，…，xn的一个排列，由排序原理得1·x＋x·x2＋…＋xn－1·xn＋xn·1≥1·xn＋x·xn－1＋…＋xn－1·x＋xn·1，即x＋x3＋…＋x2n－1＋xn≥(n＋1)xn.②将①②相加得1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn

5、.用排序不等式证明不等式(对所证不等式中的字母大小顺序作出假设)　　[例2]　设a，b，c为正数，求证：＋＋≥a10＋b10＋c10.[思路点拨]　本题考查排序不等式的应用，解答本题需要搞清：题目中没有给出a，b，c三个数的大小顺序，且a，b，c在不等式中的“地位”是对等的，故可以设a≥b≥c，再利用排序不等式加以证明．[证明]　由对称性，不妨设a≥b≥c，于是a12≥b12≥c12，≥≥，故由排序不等式：顺序和≥乱序和，得＋＋≥＋＋＝＋＋.①又因为a11≥b11≥c11，≤≤.再次由排序不等式：反序和≤乱序和，得＋＋≤＋＋.②所以由①②得＋＋≥a10＋b10＋c10

6、.在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给出大小关系的情况，要根据各字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系．3．设a，b，c都是正数，求证：＋＋≥a＋b＋c.证明：由题意不妨设a≥b≥c＞0，由不等式的单调性，知ab≥ac≥bc，≥≥.由排序不等式，知ab×＋ac×＋bc×≥ab×＋ac×＋bc×＝a＋c＋b，即＋＋≥a＋b＋c.4．设a1，a2，a3为正数，求证：＋＋≥a1＋a2＋a3.证明：不妨设a1≥a2≥a3>0，于是≤≤，a2a3≤a3a1≤a1a2，由排序不等式：顺序和≥乱序和得＋＋≥·a2a3＋·a3a1＋·a1a2＝a3＋a1＋a

7、2.即＋＋≥a1＋a2＋a3.1．有两组数：1,2,3与10,15,20，它们的顺序和、反序和分别是(　　)A．100,85　　　　　　　　B．100,80C．95,80D．95,85解析：选B　由顺序和与反序和的定义可知顺序和为100，反序和为80.2．若0