2018_2019学年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式测评（含解析）新人教A版

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1、第三讲柯西不等式与排序不等式测评(时间:90分钟　满分:100分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知2x+3y+4z=10,则x2+y2+z2取到最小值时的x,y,z的值为(　　)A.B.C.1,D.1,解析:由柯西不等式得(x2+y2+z2)(22+32+42)≥(2x+3y+4z)2,即x2+y2+z2≤,当且仅当时,取到最小值,所以联立可得x=,y=,z=.答案:B2.已知3x2+2y2≤1,则3x+2y的取值范围是(　　)A.[0,]B

2、.[-,0]C.[-]D.[-5,5]解析:

3、3x+2y

4、≤.所以-≤3x+2y≤.答案:C3.已知a,b,c是正实数,则a3+b3+c3与a2b+b2c+c2a的大小关系是(　　)A.a3+b3+c3>a2b+b2c+c2aB.a3+b3+c3≥a2b+b2c+c2aC.a3+b3+c30,则a2≥b2≥c2>0.由排序不等式,顺序和≥乱序和,有a3+b3+c3≥a2b+b2c+c2a.答案:B4.已知x,y,z是正实数,且=1,则

5、x+的最小值是(　　)A.5B.6C.8D.9解析:x+≥=9.当且仅当,即x=3,y=6,z=9时等号成立.答案:D5.已知a,b是给定的正数,则的最小值为(　　)A.2a2+b2B.2abC.(2a+b)2D.4ab解析:=(sin2α+cos2α)≥=(2a+b)2,当且仅当sinα=cosα时,等号成立.故的最小值为(2a+b)2.答案:C6.设a,b,c为正实数,a+b+4c=1,则+2的最大值是(　　)A.B.C.2D.解析:1=a+b+4c=()2+()2+(2)2=[()2+()2+(2)2]·(12+1

6、2+12)≥(+2)2·,∴(+2)2≤3,+2,当且仅当a=,b=,c=时,取等号.答案:B7.在锐角△ABC中,aQB.P=QC.P

7、≤SC.T≤K≤SD.K≤S≤T答案:A9.已知a>0,且M=a3+(a+1)3+(a+2)3,N=a2(a+1)+(a+1)2(a+2)+a(a+2)2,则M与N的大小关系是(　　)A.M≥NB.M>NC.M≤ND.MN.答案:B10.设c1,c2,…,cn是a1,a2,…,an的某一排列(a1,a2,…,a

8、n均为正数),则+…+的最小值是(　　)A.nB.C.D.2n解析:不妨设0≤a1≤a2≤…≤an,则≥…≥,…,,…,的一个排列,再利用排序不等式的反序和≤乱序和求解.所以+…++…+=n.当且仅当a1=a2=…=an时等号成立.答案:A二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.函数y=(0<α<)的最小值是　　　　. 解析:由柯西不等式,得y=≥=≥(1+)2=3+2.当且仅当,即α=时,等号成立.答案:3+212.如图所示,矩形OPAQ中,a1≤a2,b1≤b2,则阴影部分的矩

9、形的面积之和　　　　空白部分的矩形的面积之和. 解析:由题图可知,阴影部分的面积=a1b1+a2b2,而空白部分的面积=a1b2+a2b1,根据顺序和≥逆序和可知,答案为≥.答案:≥13.若=1,=2,则x1y1+x2y2+x3y3的最大值为　　　　. 答案:14.边长为a,b,c的三角形,其面积为,外接圆半径为1,若s=,t=,则s与t的大小关系是　　　　　. 解析:三角形的面积S=,即abc=1,所以t=ab+bc+ca,t2=(ab+bc+ca)≥()2=s2,又a,b,c>0,所以s≤t.答案:s≤t15.设x,

10、y,z∈R,且满足:x2+y2+z2=1,x+2y+3z=,则x+y+z=　　　　　. 解析:由柯西不等式得(x2+y2+z2)(12+22+32)≥(x+2y+3z)2当且仅当时等号成立,此时y=2x,z=3x.∵x2+y2+z2=1,x+2y+3z=,∴x=,y=,z=.∴x+y+z=.答案:三、解答题(本大题共