2018-2019学年高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 三 排序不等式讲义（含解析）新人教A版选修4-5

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1、三排序不等式1．顺序和、乱序和、反序和设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn为b1，b2，…，bn的任一排列，称a1b1＋a2b2＋…＋anbn为这两个实数组的顺序积之和(简称顺序和)，称a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1为这两个实数组的反序积之和(简称反序和)．称a1c1＋a2c2＋…＋ancn为这两个实数组的乱序积之和(简称乱序和)．2．排序不等式(排序原理)定理：(排序原理，又称为排序不等式)　设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，

2、cn为b1，b2，…，bn的任一排列，则有a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn，等号成立(反序和等于顺序和)⇔a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn.排序原理可简记作：反序和≤乱序和≤顺序和．[点睛]　排序不等式也可以理解为两实数序列同向单调时，所得两两乘积之和最大；反向单调(一增一减)时，所得两两乘积之和最小．[例1]　已知a，b，c为正数，且a≥b≥c，求证：＋＋≥＋＋.[思路点拨]　分析题目中已明确a≥b≥c，所以解答本题时可直接构造

3、两个数组，再用排序不等式证明即可．[证明]　∵a≥b>0，于是≤，又c>0，从而≥，同理≥，从而≥≥.又由于顺序和不小于乱序和，故可得＋＋≥＋＋＝＋＋≥＋＋＝＋＋＝＋＋.∴原不等式成立．利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组．1．已知0<α<β<γ<，求证：sinαcosβ＋sinβcosγ＋sinγ·cosα>(sin2α＋sin2β＋sin2γ)．证明：∵0<α<β<γ<，且y＝sinx在为增函数，y＝cosx在为减函数，

4、∴0cosβ>cosγ>0.∴sinαcosβ＋sinβcosγ＋sinγcosα>sinαcosα＋sinβcosβ＋sinγcosγ＝(sin2α＋sin2β＋sin2γ)．2．设x≥1，求证：1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn.证明：∵x≥1，∴1≤x≤x2≤…≤xn.由排序原理得12＋x2＋x4＋…＋x2n≥1·xn＋x·xn－1＋…＋xn－1·x＋xn·1即1＋x2＋x4＋…＋x2n≥(n＋1)xn.①又因为x，x2，…，xn,1为1，x，x2，…，x

5、n的一个排列，由排序原理得1·x＋x·x2＋…＋xn－1·xn＋xn·1≥1·xn＋x·xn－1＋…＋xn－1·x＋xn·1，即x＋x3＋…＋x2n－1＋xn≥(n＋1)xn.②将①②相加得1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn.用排序不等式证明不等式(对所证不等式中的字母大小顺序作出假设)　　[例2]　设a，b，c为正数，求证：＋＋≥a10＋b10＋c10.[思路点拨]　本题考查排序不等式的应用，解答本题需要搞清：题目中没有给出a，b，c三个数的大小顺序，且a，b，c在不等式中的“地位”是对等的，故可以设

6、a≥b≥c，再利用排序不等式加以证明．[证明]　由对称性，不妨设a≥b≥c，于是a12≥b12≥c12，≥≥，故由排序不等式：顺序和≥乱序和，得＋＋≥＋＋＝＋＋.①又因为a11≥b11≥c11，≤≤.再次由排序不等式：反序和≤乱序和，得＋＋≤＋＋.②所以由①②得＋＋≥a10＋b10＋c10.在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给出大小关系的情况，要根据各字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系．3．设a，b，c都是正数，求证：＋＋≥a＋b＋c.证明：由题意不妨设a≥b≥c＞0，由不等式的单

7、调性，知ab≥ac≥bc，≥≥.由排序不等式，知ab×＋ac×＋bc×≥ab×＋ac×＋bc×＝a＋c＋b，即＋＋≥a＋b＋c.4．设a1，a2，a3为正数，求证：＋＋≥a1＋a2＋a3.证明：不妨设a1≥a2≥a3>0，于是≤≤，a2a3≤a3a1≤a1a2，由排序不等式：顺序和≥乱序和得＋＋≥·a2a3＋·a3a1＋·a1a2＝a3＋a1＋a2.即＋＋≥a1＋a2＋a3.1．有两组数：1,2,3与10,15,20，它们的顺序和、反序和分别是(　　)A．100,85　　　　　　　　B．100,80C．95,8

8、0D．95,85解析：选B　由顺序和与反序和的定义可知顺序和为100，反序和为80.2．若0