2018-2019版高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 三 排序不等式学案 新人教A版选修4-5

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1、三　排序不等式学习目标　1.了解反序和、乱序和、顺序和等有关概念.2.了解排序不等式及其证明的几何意义与背景.3.掌握排序不等式的结构形式，并能简单应用．知识点　排序不等式思考1　某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件、5件及2件，现在选择商店中单价为3元、2元和1元的礼品，问有多少种不同的购买方案？在这些方案中哪种花钱最少？哪种花钱最多？答案　(1)共有3×2×1＝6(种)不同的购买方案．(2)5×3＋4×2＋2×1＝25(元)，这种方案花钱最多；5×1＋4×2＋2×3＝19(元)，这种方案花钱最少．思考2　如图，∠POQ＝60°，比较与的大小．答案　梳理　(1)顺序和、乱序

2、和、反序和的概念设有两个有序实数组：a1≤a2≤…≤an；b1≤b2≤…≤bn，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任意一个排列．①乱序和：S＝a1c1＋a2c2＋…＋ancn.②反序和：S1＝a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1.③顺序和：S2＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn.(2)排序不等式(排序原理)设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，则a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn，当且仅当a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn时，

3、反序和等于顺序和．类型一　利用排序不等式证明不等式例1　已知a，b，c为正数，且a≥b≥c，求证：＋＋≥＋＋.证明　∵a≥b＞0，于是≤，又c＞0，从而≥，同理≥，从而≥≥.又顺序和不小于乱序和，故可得＋＋≥＋＋＝＋＋≥＋＋＝＋＋＝＋＋.∴原不等式成立．反思与感悟　利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组．跟踪训练1　已知0＜a≤b≤c，求证：＋＋≥＋＋.证明　因为0＜a≤b≤c，所以0＜a＋b≤c＋a≤b＋c，所以≥≥＞0，又0＜a2≤b2≤c2，所以＋＋是顺序和，＋＋是乱序和，由排序不等式可知顺序

4、和大于等于乱序和，即不等式＋＋≥＋＋成立．例2　已知a，b，c均为正数，求证：＋＋≥(a＋b＋c)．证明　由不等式的对称性，不妨设a≥b≥c＞0，所以a2≥b2≥c2，≥≥.由顺序和≥乱序和得到两个不等式：＋＋≥＋＋，＋＋≥＋＋.两式相加，得2≥＋＋，注意到≥(b＋c)，≥(c＋a)，≥(a＋b)，所以2≥(b＋c)＋(c＋a)＋(a＋b)＝a＋b＋c.故＋＋≥(a＋b＋c)．反思与感悟　对于排序不等式，其核心是必须有两组完全确定的数据，所以解题的关键是构造出这样的两组数据．跟踪训练2　设a，b，c∈R＋，利用排序不等式证明：a3＋b3＋c3≤＋＋.证明　不妨设0＜a≤b≤c，则a5

5、≤b5≤c5，≤≤，所以由排序不等式可得a3＋b3＋c3＝＋＋≤＋＋，a3＋b3＋c3＝＋＋≤＋＋，所以a3＋b3＋c3≤＋＋.类型二　利用排序不等式求最值例3　设a，b，c为任意正数，求＋＋的最小值．解　由于a，b，c的对称性，不妨设a≥b≥c＞0，则a＋b≥a＋c≥b＋c，≥≥，由排序不等式，得＋＋≥＋＋，＋＋≥＋＋，上述两式相加，得2≥3，即＋＋≥.当且仅当a＝b＝c时，＋＋取最小值.反思与感悟　求最小(大)值，往往所给式子是顺(反)序和式．然后利用顺(反)序和不小(大)于乱序和的原理构造出一个或二个适当的乱序和，从而求出其最小(大)值．跟踪训练3　设0＜a≤b≤c且abc＝1

6、.试求＋＋的最小值．解　令S＝＋＋，则S＝＋＋＝·bc＋·ac＋·ab.由已知可得≥≥，ab≤ac≤bc.∴S≥·ac＋·ab＋·bc＝＋＋.又S≥·ab＋·bc＋·ac＝＋＋，两式相加，得2S≥＋＋≥3·＝3.∴S≥，即＋＋的最小值为.1．设a，b，c均为正数，且P＝a3＋b3＋c3，Q＝a2b＋b2c＋c2a，则P与Q的大小关系是(　　)A．P＞QB．P≥QC．P＜QD．P≤Q答案　B解析　不妨设a≥b≥c＞0，则a2≥b2≥c2＞0.由排序不等式，得a2a＋b2b＋c2c≥a2b＋b2c＋c2a，当且仅当a＝b＝c时，等号成立，所以P≥Q.2．已知a1＝2，a2＝7，a3＝8，

7、a4＝9，a5＝12，b1＝3，b2＝4，b3＝6，b4＝10，b5＝11.将bi(i＝1,2,3,4,5)重新排列记为c1，c2，c3，c4，c5，则a1c1＋a2c2＋…＋a5c5的最大值是(　　)A．324B．314C．304D．212答案　C解析　a1c1＋a2c2＋…＋a5c5≤a1b1＋a2b2＋a3b3＋a4b4＋a5b5＝2×3＋7×4＋8×6＋9×10＋12×11＝304.3．n个正数与这n个正数的倒数的乘积的和的最小值为________