2018-2019高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 3.3 排序不等式导学案 新人教A版选修4-5

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1、3.3　排序不等式学习目标1．了解排序不等式的数学思想和背景．2．理解排序不等式的结构与基本原理，会用排序不等式解决简单的不等式问题．一、自学释疑根据线上提交的自学检测，生生、师生交流讨论，纠正共性问题。二、合作探究思考探究　使用排序不等式的关键是什么？名师点拨：1．排序原理的本质含义两组实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大，反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小．等号成立的条件是其中至少有一组序列为常数序列．2．排序原理的思想在解答数学问题时常常涉及到一些可以比较大小的量，它们之间并没有预先规定大小顺序，那

2、么在解答问题时，不妨可以把它们按一定顺序排列起来利用排序原理，往往有助于解决问题．3．排序原理的推论对于实数a1，a2，…，an，设ai1，ai2，…，ain为其任一个排列，则有a1ai1＋a2ai2＋…＋anain≤a＋a＋…＋a.4．利用排序不等式求最值的方法利用排序不等式求最值时，先要对待证不等式及已知条件仔细分析，观察不等式的结构，明确两个数组的大小顺序，分清顺序和、乱序和反序和，由于乱序和是不确定的，根据需要写出其中的一个即可．一般最值是顺序和或反序和．5．排序不等式证明不等式的策略(1)利用排序不等式证明不等式时，若已知条件

3、中已给出两组量的大小关系，则需要分析清楚顺序和、乱序和及反序和．利用排序不等式证明即可．(2)若在解答数学问题时，涉及一些可以比较大小的量，它们之间并没有预先规定大小顺序．那么在解答问题时，我们可以利用排序原理将它们按一定顺序排列起来，继而用不等式关系来解题.【例1】　某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件，5件及2件，现在选择商品中单价为3元，2元和1元的礼品，问至少要花多少钱？最多要花多少钱？【变式训练1】　设a1，a2，a3为正数，且a1＋a2＋a3＝1，求＋＋的最小值．【例2】　已知a，b，c∈R＋，求证：＋＋≥a10＋b

4、10＋c10.【变式训练2】　已知a，b，c都是正数，求证：＋＋≤.　【例3】　设x>0，求证：1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn.【变式训练3】　已知a，b，c为正数，用排序不等式证明：2(a3＋b3＋c3)≥a2(b＋c)＋b2(a＋c)＋c2(a＋b)．参考答案二、合作探究探究1：两组实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大，反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小．等号成立的条件是其中至少有一组序列为常数序列．探究2：在解答数学问题时常常涉及到一些可以比较大小的量，它们之间并没有预先规定大小顺序，那

5、么在解答问题时，不妨可以把它们按一定顺序排列起来利用排序原理，往往有助于解决问题．探究3：对于实数a1，a2，…，an，设ai1，ai2，…，ain为其任一个排列，则有a1ai1＋a2ai2＋…＋anain≤a＋a＋…＋a.探究4：利用排序不等式求最值时，先要对待证不等式及已知条件仔细分析，观察不等式的结构，明确两个数组的大小顺序，分清顺序和、乱序和反序和，由于乱序和是不确定的，根据需要写出其中的一个即可．一般最值是顺序和或反序和．探究5：(1)利用排序不等式证明不等式时，若已知条件中已给出两组量的大小关系，则需要分析清楚顺序和、乱序和

6、及反序和．利用排序不等式证明即可．(2)若在解答数学问题时，涉及一些可以比较大小的量，它们之间并没有预先规定大小顺序．那么在解答问题时，我们可以利用排序原理将它们按一定顺序排列起来，继而用不等式关系来解题.【例1】【解】　由题意可知，(a1，a2，a3)＝(2,4,5)，(b1，b2，b3)＝(1,2,3)，则花钱最少为：1×5＋2×4＋3×2＝19(元)；花钱最多为：1×2＋2×4＋3×5＝25(元)．【变式训练1】解　不妨设a3>a1>a2>0，则<<，所以a1a2

7、S′＝＋＋.由排序不等式得＋＋≥a1＋a2＋a3＝1.所以＋＋的最小值为1.【例2】【分析】　观察需证不等式可以发现左、右两边的次数相等．因此，应该进行适当的拼凑，使其成为积的形式．【证明】　不妨设a≥b≥c>0，则≥≥>0，且a12≥b12≥c12>0.∴＋＋≥＋＋＝＋＋≥＋＋＝a10＋b10＋c10.【变式训练2】证明　由于a，b，c的对称性，不妨设a≥b≥c>0，则≥≥.因而≥≥.又a5≥b5≥c5，由排序不等式，得＋＋≥＋＋＝＋＋.又由不等式性质，知a2≥b2≥c2，≥≥.根据排序不等式，得＋＋≥＋＋＝＋＋.由不等式的传递性知＋

8、＋≤＋＋＝.【例3】【分析】　题中只给出了x>0，但是对于x≥1，x<1并不确定，因此，需要分类讨论．【证明】　(1)当x≥1时，1≤x≤x2≤…≤xn，由排序原理知，1·1＋x·x＋x2·x2＋…＋xn·