高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 三 排序不等式学案（含解析）新人教A版选修.doc

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1、三排序不等式1．顺序和、乱序和、反序和设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，称a1b1＋a2b2＋…＋anbn为这两个实数组的顺序积之和(简称顺序和)，称a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1为这两个实数组的反序积之和(简称反序和)，称a1c1＋a2c2＋…＋ancn为这两个实数组的乱序积之和(简称乱序和)．2．排序不等式(排序原理)定理：(排序不等式，又称为排序原理)　设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，则a

2、1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn，等号成立(反序和等于顺序和)⇔a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn.排序原理可简记作：反序和≤乱序和≤顺序和．用排序不等式证明不等式(所证不等式中字母大小顺序已确定)　　　已知a，b，c为正数，且a≥b≥c，求证：＋＋≥＋＋.　分析题目中已明确a≥b≥c，所以解答本题时可直接构造两个数组，再用排序不等式证明即可．　∵a≥b>0，∴≤.又c>0，从而≥.同理≥，从而≥≥.又由于顺序和不小于乱序和，故可得＋＋≥＋＋＝＋＋≥＋＋＝＋＋＝＋＋.∴原不等

3、式成立．利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组．1．已知0<α<β<γ<，求证：sinαcosβ＋sinβcosγ＋sinγcosα>(sin2α＋sin2β＋sin2γ)．证明：∵0<α<β<γ<，且y＝sinx在为增函数，y＝cosx在为减函数，∴0cosβ>cosγ>0.∴sinαcosβ＋sinβcosγ＋sinγcosα>sinαcosα＋sinβ·cosβ＋sinγcosγ＝(sin2α＋sin2β＋sin2γ)．

4、2．设x≥1，求证：1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn.证明：∵x≥1，∴1≤x≤x2≤…≤xn.由排序原理，得12＋x2＋x4＋…＋x2n≥1·xn＋x·xn－1＋…＋xn－1·x＋xn·1，即1＋x2＋x4＋…＋x2n≥(n＋1)xn.①又因为x，x2，…，xn,1为1，x，x2，…，xn的一个排列，由排序原理，得1·x＋x·x2＋…＋xn－1·xn＋xn·1≥1·xn＋x·xn－1＋…＋xn－1·x＋xn·1，得x＋x3＋…＋x2n－1＋xn≥(n＋1)xn.②将①②相加，得1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn.用排序不等式证明不等

5、式(对所证不等式中的字母大小顺序作出假设)　　　在△ABC中，试证：≤.　可构造△ABC的边和角的有序数列，应用排序不等式来证明．　不妨设a≤b≤c，于是A≤B≤C.由排序不等式，得aA＋bB＋cC≥aA＋bB＋cC，aA＋bB＋cC≥bA＋cB＋aC，aA＋bB＋cC≥cA＋aB＋bC.相加，得3(aA＋bB＋cC)≥(a＋b＋c)(A＋B＋C)＝π(a＋b＋c)，得≥.在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给出大小关系的情况，要根据各字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系．3．设c1，c2，…，cn为正数组a1，a2，…，an

6、的某一排列，求证：＋＋…＋≥n.证明：不妨设0>…>且b1≥1，b2≥2，…，bn－1≥n－1，c1≤2，c2≤3，…，cn－1≤n.

7、利用排序不等式，有＋＋…＋≥＋＋…＋≥＋＋…＋.∴原不等式成立．课时跟踪检测(十一)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．有一有序数组，其顺序和为A，反序和为B，乱序和为C，则它们的大小关系为(　　)A．A≥B≥C　　　　　　　B．A≥C≥BC．A≤B≤CD．A≤C≤B解析：选B　由排序不等式，顺序和≥乱序和≥反序和知：A≥C≥B.2．若A＝x＋x＋…＋x，B＝x1x2＋x2x3＋…＋xn－1xn＋xnx1，其中x1，x2，…，xn都是正数，则A与B的大小关系为(　　)A．A>BB．A

8、各项都是正数，不妨设0＜x1≤x2≤…≤xn，则x2，x3，…，xn，x1为序列{xn}的一个