高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.3排序不等式课堂导学案新人教A版选修.doc

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1、3.3排序不等式课堂导学三点剖析一、利用排序不等式证明不等式【例1】已知a,b,c∈R+,求证:.证明：不妨设a≥b≥c>0,①则00,①则a+b≥a+c≥b+c>0,>0,>0,②对①②应用排序原理,得,③,④③+④,得2()≥a+b+c,∴(当且仅当a=b=c时,等号成立).二、利用排序不等式证明条件不等式【例2】设a,b,c,d

2、是满足ab+bc+cd+da=1的非负实数,求证:.证明:不妨设a≥b≥c≥d≥0,①则a+b+c≥a+b+d≥a+c+d≥b+c+d>0,得≥0,②令S=,对于①②应用排序原理,得S≥,③S≥,④S≥,⑤③+④+⑤,可得3S≥a2+b2+c2+d2=≥ab+bc+cd+da=1.∴S≥(当且仅当a=b=c=d=时,等号成立).类题演练2设a1,a2,…，an是1,2,…,n的一个排列,求证:++…+.证明:设b1,b2,…,bn-1是a1,a2,…,an-1的一个排列,且b1

3、n的一个排列,且c1

4、他们的总的花费时间最少?这个最少时间是多少?(2)若有两个相同的水龙头供水时,应如何安排这十个人的次序,使他们的总的花费时间最少?这个最少时间是多少?解析：(1)设按某次序打水时水龙头灌满第i个人的水桶需要si分钟,则第一人花费的时间为s1分钟,第二人花费的时间为(s1+s2)分钟,…,第十人花费的时间为(s1+s2+…+s10)分钟,总的花费时间为s1+(s1+s2)+…+(s1+s2+…+s10)=10s1+9s2+…+2s9+s10.其中,序列s1,s2,…,s10是t1,t2,…,t10的一个排列.由题设,这些ti各不相同,不妨设t1

5、

6、有一个水龙头没人去打水,则5≤m<10.由(1)知p15,我们让在第一个水龙头打水的第一人到第二个水龙头的第一位去,则总的花费时间变为T′=(m-1)p2+…+pm+(11-m)p1+(10-m)q1+…+q10-m.所以T-T′=(2m-11)p1>0

7、,即当m>5时,我们让第一个水龙头的第一人到第二个水龙头去后,总时间减少.故在m=5时,总时间可能取得最小值.由于m=5,故两个水龙头人一样多.总用时为T=(5p1+4p2+3p3+2p4+p5)+(5q1+4q2+3q3+2q4+q5).由于p10,即经交换后总时间变少.因此q1

8、类似地,我们可以证明pi