2015创新设计(高中理科数学)步骤规范练——空间向量与立体几何

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1、步骤规范练——空间向量与立体几何(建议用时：90分钟)一、选择题1．已知a，b是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c在直线l上，则c·a＝0且c·b＝0是l⊥α的(　　)．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析　若l⊥α，则l与a，b所在的直线垂直，∴c⊥a，c⊥b，∴c·a＝0，c·b＝0，是必要条件；∵a≠b，∴当a与b同向(或反向)时，由c·a＝0且c·b＝0可以推出c⊥a且c⊥b，但不能推出l⊥α，不是充分条件．答案　B2．已知二面角α－l－β的大小为，m，n为异面直线，且m⊥α，

2、n⊥β，则m，n所成的角为(　　)．A.B.C.D.解析　设m，n的方向向量分别为m，n.由m⊥α，n⊥β知m，n分别是平面α，β的法向量．∵

3、cos

4、＝cos＝，∴＝或.但由于两异面直线所成的角的范围是，故异面直线m，n所成的角为.答案　B3．在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是(　　)．A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABCD．平面PAE⊥平面ABC解析　若平面PDF⊥平面ABC，则顶点P在底面的射影在DF上，又因为正四面体的顶点

5、在底面的射影是底面的中心，因此假设不成立，故C不成立．答案　C4．(2013·潍坊二模)已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出四个命题：①若α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则α⊥β；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；④若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.其中正确的命题是(　　)．A．①②B．②③C．①④D．②④解析　命题①中，α与β不一定垂直，不正确；垂直于同一条直线的两个平面平行，命题②正确；易知，命题③正确，命题④不正确．故选B.答案　B5．在以下命题中，不正确的个数为(　　)．①

6、

7、a

8、－

9、b

10、＝

11、a＋b

12、是a，b共线的充要条件；②若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb；③对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝2－2－，则P，A，B，C四点共面；④若{a，b，c}为空间的一个基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间的另一个基底；⑤

13、(a·b)·c

14、＝

15、a

16、·

17、b

18、·

19、c

20、.A．2B．3C．4D．5解析　①

21、a

22、－

23、b

24、＝

25、a＋b

26、⇒a与b共线，但a与b共线时

27、a

28、－

29、b

30、＝

31、a＋b

32、不一定成立，故不正确；②b需为非零向量，故不正确；③因为2－2－1≠1，由共面向量定理知，不正确；④由基底的定义知正

33、确；⑤由向量的数量积的性质知，不正确．答案　C6．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E，F分别是CC1，AD的中点．那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于(　　)．A.B.C.D.解析　建立如图所示的空间直角坐标系，则O(1,1,0)，E(0,2,1)，D1(0,0,2)，F(1,0,0)，＝(－1，1,1)，＝(－1,0,2)，∴·＝3，

34、

35、＝，

36、

37、＝，∴cos<，>＝＝.即OE与FD1所成的角的余弦值为.答案　D7．已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在

38、底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于(　　)．A.B.C.D.解析　设A1在面ABC内的射影为O，过O作OH∥BC交AB于点H，以O为坐标原点，OA，OH，OA1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．设△ABC边长为1，则A，B1，∴＝.面ABC的法向量n＝(0,0,1)，则AB1与底面ABC所成角α的正弦值为sinα＝

39、cos<，n>

40、＝＝.答案　B8．如图为棱长是1的正方体的表面展开图，在原正方体中，给出下列三个命题：①点M到AB的距离为；②三棱锥C－DNE的体积是；③AB与EF所成的角

41、是其中正确命题的个数是(　　)．A．0B．1C．2D．3解析　依题意可作出正方体的直观图如图，显然M到AB的距离为MC＝，∴①正确；而VC－DNE＝××1×1×1＝，∴②正确；AB与EF所成的角等于AB与MC所成的角，即为，∴③正确．答案　D9．正△ABC与正△BCD所在平面垂直，则二面角A－BD－C的正弦值为(　　)．A.B.C.D.解析　取BC中点O，连接AO，DO.建立如图所示坐标系，设BC＝1，则A，B，D.∴＝，＝，＝.由于＝为平面BCD的一个法向量，可进一步求出平面ABD的一个法向量n＝(1，－，1)，∴cos＝

42、，∴sin＝.答案　C10．正三棱柱ABC－A1B1C1的棱长都为2，E，F，G为AB，AA1，A1C1的中点，则B1F与平面GEF所成角的正弦值为(　　)．A.　　　B.C.　　　D.解析　如图，取AB的中点E，建立如图所示