步骤规范练——空间向量与立体几何

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1、步骤规范练一一空间向量与立体几何（建议用时：90分钟）一、选择题1.己知a,方是平面。内的两个不相等的非零向量，非零向量c在直线/上，则)•c・a=0且cb=0是l-La的A.充分不必耍条件B.必耍不充分条件2.C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析若/丄a,则/与a,方所在的直线垂直，「.c丄a,c丄b,..c-a=0,c・b=0,是必要条件；・「・当a与方同向（或反向）时，由c-a=0Kc-b=0可以推出c丄“且c丄方，但不能推出/丄a,不是充分条件.答案B已知二面角的大小为务〃2，〃为界面直线，且刃丄a,〃丄“，则刃,刃所成

2、的角为)•A6c71B3C-2_2kDT解析设加，乃的方向向量分别为加，〃.由加丄a,77丄”知加，兀分别是平面a,0的法向量.•••

3、cosS,n>=cos^=.■-=扌或孚但由于两异面直线所成的角的范围是（0,申，故异面直线n所成的角为扌.答案B3.在正四而体P-ABC中，D,E,F分别是⑷?，BC,C4的屮点，下而四个结论中不成立的是（）.pA.BC〃平面PDFB.DF丄平而/MEC・平面"F丄平面/BCD・平面E4E丄平面/EC解析若平面PDF丄平面z/BC,则顶点P在底面的射影在DF上，又因为正四面体的顶点在底

4、面的射影是底面的中心，因此假设不成立，故C不成立.答案C4.（2013-潍坊二模）已知加，乃是两条不同的直线，«,0是两个不同的平面，给岀四个命题：①若/?Uq,刃丄加，贝ija丄0；②若力丄a,加丄#,贝ija〃0；③若加丄a,/7丄/?,加丄/7,贝0al.fi；④若加〃a,n//[i,m//n,则a〃“.其中正确的命题是（）.A.①②B.②③A.①④D.②④解析命题①中，a与”不一定垂直，不正确；垂直于同一条直线的两个平面平行，命题②正确；易知，命题③正确，命题④不正确.故选B.答案B3.在以下命题中，不正确的个数为（）.①

5、a-b=a+b是a,〃共线的充要条件；②若a//b,则存在唯一的实数2,使a=Xb；③对空间任意一点O和不共线的三点力，B,C,若莎=2鬲一2应一疋，则P,A,B,C四点共而；④若｛a,b,c｝为空间的一个基底，则｛a+b,b+c,c+a｝构成空间的另一个基底；⑤(a-byc=a[b[c.A.2B.3C.4D・5解析①a-b=a-^b^a与b共线，但a与方共线时

6、a

7、-

8、6

9、=

10、a+6

11、不一定成立，故不正确；②〃需为非零向量，故不正确；③因为2-2-1^1,由共面向量定理知，不正确；④由基底的定义知

12、正确；⑤由向量的数量积的性质知，不正确.答案C6.如图所示，在棱长为2的止方体ABCD-ABXCXD中，0是底面/BCD的中心，E,F分别是CG，/D的屮点.那么异面直线OE和FD所成的角的余弦值等于()•A.

13、4C5解析建立如图所示的空间直角坐标系，则0(1,1,0),£(0,2,1),D(0,0,2),F(1,0,0),OE=(-1,.•-(9£-/6i=3,

14、(9£

15、=V3?

16、fBi

17、=V5,ff3J15•・.cos=^^5•即OE与FD所成的角的余弦值为呼.答案D7.已知三棱柱ABC-AxByCx的侧棱与

18、底面边长都和等，4在底面MC内的射影为的中心，贝1剧5与底面MC所成角的止弦值等于().A-

19、B.C.解析设力］在面ABC内的射影为O,过。作OHIIBC交AB于点、H,以O为坐标原点，OA,OH,CM】分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设2?T3V"BC边长为1,则,0,0,51丿••AB=.面ABC的法向量兀=(0,0,1),则ABy与底面所V6成角a的正弦值为sina=cos=—〔厂=.//J1O3V36+4+9答案B8.如图为棱长是1的正方体的表面展开图，在原正方体中，给出下列三个命题:FC///

20、BENAMDy2一1①点M到M的距离为歩②三棱锥C-DNE的体积是&③力B与EF所成的角是号其中正确命题的个数是)•D.3C・2解析依题意可作出正方体的直观图如图，显然M到的距离为舟MC=¥，・••①正确;而Vc-dne=IX2X1x1x1=•-②正确；M与EF所成的角等JT于与MC所成的角，即为刁•••③正确.答案D9•正AMC与正△BCD所在平面垂直，则二面角A-BD-C的正弦值为().A逅A・5容J5解析/A0,取BC中点O,连接AO.DO.建立如图所示坐标系，设BC=U则0,莓B(o,,0,0.^OA=0,丿OA=fo,

21、0,平徑’ro)•由于为平面ECQ的一个法向量，可进一步求出平面力30的一个法向量n=(L一羽，1),•-cos=.*-sin=答案C10.正三棱柱ABC-4BG的棱长都为2,E,F,G为AB,AAlf4G的