解析几何圆问题的几何处理办法

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1、例说解析几何圆问题的常规处理办法一、知识讲解知识点1：圆的概念和方程（1）平面内到定点距离等于定值的点的集合（轨迹）称为圆；（2）以为圆心，以为半径的圆的标准方程为：；以为圆心，以为半径的圆的一般方程为：；以为直径的圆的方程为：（3）以为圆心，以为半径的圆的参数方程为：（其中是参数）。知识点2：圆的位置关系（1）点与圆的位置关系点与圆：若，点在圆内；若，点在圆上；若，点在圆外。点与圆：若，点在圆内；若，点在圆上；若，点在圆外。（2）直线与圆的位置关系联立直线方程与圆得一元二次方程，若，直线和圆有一个交点（相切）；若，直线和圆有2个交点（相交）；若，直线

2、和圆没有交点（相离）。圆的圆心到直线的距离为。若，直线和圆有一个交点（相切）；若，直线和圆有2个交点（相交）；若，直线和圆没有交点（相离）。圆与直线相交于两点。则：（3）圆与圆的位置关系，的圆心距若，则两圆外离；若，则两圆外切；若，则两圆相交；若，则两圆内切；若，则两圆内含；二、典例分析问题1：待定系数法求解圆的标准方程例题1：(2014·陕西)若圆C的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________.解析：由题意可得圆的圆心为(1，0)，故而可得圆的标准方程为：变式：(2014·山东)圆心在直线x－2y＝0上的圆C

3、与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为________.解析：由题意可得圆心坐标可设为，根据圆与y轴的正半轴相切，故而可得，根据弦长公式可得，故而可得圆的标准方程为：。问题2：利用距离公式求解圆的位置关系例题2：(2016·山东)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是(　　)A.内切B.相交C.外切D.相离解析：由题意可得圆的标准方程为，圆心到直线的距离为：，根根据弦长公式可得，故而圆M的标准方程为，，故而可得，两圆相交。例题3：(

4、2014·江西)在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为(　　)A.B.C.(6－2)πD.解析：由平面直角坐标系的性质可得，故而可得圆C的图像经过原点O。由图像可得点C到直线的距离和到点O的距离相等，故而当时，半径最小，此时，故而面积的最小值为。变式：(2017·新课标1卷)已知双曲线C：（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点。若∠MAN=60°，则C的离心率为________。解析：如图所示，过点A作渐近线的

5、垂线AB，由，又，故而，解得。问题3：巧思圆的几何性质与最值、范围问题例题4：(2014·北京，7)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m,0)(m＞0).若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为(　　)A.7B.6C.5D.4解析：根据可得点P在以AB为直径的圆上，故而点P的轨迹方程为：故而此问题可转化为以AB为直径的圆与圆C有交点的问题，即，解得，故而选B。变式：(2014·全国课标2)设点M(x0，1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是(　　)A.[－1，1]

6、B.C.[－，]D.解析：点M(x0，1)在直线y＝1上，而直线y＝1与圆x2＋y2＝1相切．据题意可设点N(0，1)，如图，则只需∠OMN≥45°即可，此时有tan∠OMN＝≥tan45°，得0<

7、MN

8、≤

9、ON

10、＝1，即0<

11、x0

12、≤1，当M位于点(0，1)时，显然在圆上存在点N满足要求，综上可知－1≤x0≤1.问题4：利用基本不等式求解圆的最值问题例题5：(2016·吉林长春质量监测)设m，n∈R，若直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，则m＋n的取值范围是(　　)A.[1-，1＋]B.(-∞，1-]∪[1

13、＋，＋∞)C.[2-2，2＋2]D.(-∞，2-2]∪[2＋2，＋∞)解析：根据直线与圆的位置关系可得：，化简可得，根据基本不等式可得，化简可得，解一元二次不等式可得或者，当且仅当时取等号。故而选D。问题5：巧用建系法解答“定长+动点”问题例题6：(2016·四川)已知正三角形ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M满足

14、

15、＝1，＝，则

16、

17、2的最大值是(　　)A.B.C.D.解析：如图所示，以BC中点为原点建立平面直角坐标系，此时：。故而可得点P在以A为圆心，以1为半径的圆上，故而点P的轨迹方程为，由可得点M为CP的中点。假设点坐标为，故而可得点坐标

18、为，代入轨迹方程化简可得：。此时可得点在为圆心，以为半径的圆上。，因此。问题7：巧用参数方程（