解析几何 圆方程

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1、07-05圆的方程点一点——明确目标掌握圆的标准方程、一般方程、参数方程，能根据需要选择园方程的恰当形式解决问题.做一做——热身适应1.方程x2+y2－2（t+3）x+2（1－4t2）y+16t4+9=0（t∈R）表示圆方程，则t的取值范围是.解析：由D2+E2－4F>0，得7t2－6t－1<0，即－

2、练习）将圆x2+y2=1按向量a平移得到圆（x+1）2+（y－2）2=1，则a的坐标为____________.解析：由向量平移公式即得a=（－1，2）.答案：（－1，2）4.已知P（1，2）为圆x2+y2=9内一定点，过P作两条互相垂直的任意弦交圆于点B、C，则BC中点M的轨迹方程为____________.解析：Rt△OMC中，

3、MP

4、=

5、BC

6、（直角三角形斜边上的中线是斜边的一半）.故所求轨迹方程为x2+y2－x－2y－2=0.答案：x2+y2－x－2y－2=05.已知圆的方程为（x－a）2+（y－b）2=r2（r>0），下列

7、结论错误的是A.当a2+b2=r2时，圆必过原点B.当a=r时，圆与y轴相切C.当b=r时，圆与x轴相切D.当b

8、b

9、，只有当

10、b

11、

12、b

13、

14、+Dx+Ey+F=0.（*）将（*）式配方得（x+）2+（y+）2=.当D2+E2－4F＞0时，方程（*）表示圆心（－，－），半径r=的圆，把方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2－4F＞0）叫做圆的一般方程.说明：圆的一般方程体现了圆方程的代数特点：a.x2、y2项系数相等且不为零.b.没有xy项;当D2+E2－4F=0时，方程（*）表示点（－，－），当D2+E2－4F＜0时，方程（*）不表示任何图形;据条件列出关于D、E、F的三元一次方程组，可确定圆的一般方程.（3）圆的参数方程①圆心在O（0，0），半径为r的圆的参数方

15、程为（θ为参数）.①x=rcosθ，y=rsinθ②圆心在O1（a，b），半径为r的圆的参数方程为（θ为参数）.②x=a+rcosθ，y=b+rsinθ说明：在①中消去θ得x2+y2=r2，在②中消去θ得（x－a）2+（y－b）2=r2，把这两个方程相对于它们各自的参数方程又叫做普通方程.拨一拨——思路方法【例1】（2003年春季北京）设A（－c，0）、B（c，0）（c>0）为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a（a>0），求P点的轨迹.剖析：给曲线建立方程是解析几何的两个主要问题之一，其基本方法就是把几何条件代数化

16、；主要问题之二是根据方程研究曲线的形状、性质，即用代数的方法研究几何问题.解：设动点P的坐标为（x，y），由=a（a>0）得=a，化简，得（1－a2）x2+2c（1+a2）x+c2（1－a2）+（1－a2）y2=0.当a=1时，方程化为x=0.当a≠1时，方程化为（x－c）2+y2=（）2.所以当a=1时，点P的轨迹为y轴；当a≠1时，点P的轨迹是以点（c，0）为圆心，

17、

18、为半径的圆.评述：本题主要考查直线、圆、曲线和方程等基本知识，考查运用解析几何的方法解决问题的能力，对代数式的运算化简能力有较高要求.同时也考查了分类讨论这一数学

19、思想.【例2】一圆与y轴相切，圆心在直线x－3y=0上，且直线y=x截圆所得弦长为2，求此圆的方程.剖析：利用圆的性质：半弦、半径和弦心距构成的直角三角形.解：因圆与y轴相切，且圆心在直线x－3y=0上，故设圆方程为（x－3b）2+（y－b）2=9b2.又因为直线y=x截圆得弦长为2，则有（）2+（）2=9b2，解得b=±1.故所求圆方程为（x－3）2+（y－1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=9.评述：在解决求圆的方程这类问题时，应当注意以下几点：（1）确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程；（2）根据几何关系（如本例的相切

20、、弦长等）建立方程求得a、b、r或D、E、F；（3）待定系数法的应用，解答中要尽量减少未知量的个数.【例3】已知⊙O的半径为3，直线l与⊙O相切，一动圆与l相切，并与⊙O相交的公共弦恰为⊙O的直径，求动圆圆心的轨迹方程.剖析：问题中的