高中数学第二章随机变量及其分布章末复习学案新人教a版选修2_32

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1、第二章随机变量及其分布1．离散型随机变量及其分布列(1)随机变量：在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．通常用字母X，Y，ξ，η，…等表示．(2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量．(3)离散型随机变量的分布列：一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2…，xi，…xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式

2、表示如下：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn我们将上表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．有时为了简单起见，也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n表示X的分布列．(4)离散型随机变量的分布列的性质：①pi≥0，i＝1，2，…，n；②pi＝1.(5)常见的分布列：8两点分布：如果随机变量X的分布列具有下表的形式，则称X服从两点分布，并称p＝P(X＝1)为成功概率.X01P1－pp两点分布又称0－1分布，伯努利分布．超几何分布：一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，

3、则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝，k＝0，1，2，…，m，即X01…mP…其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．2．二项分布及其应用(1)条件概率：一般地，设A和B是两个事件，且P(A)＞0，称P(B

4、A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．P(B

5、A)读作A发生的条件下B发生的概率．(2)条件概率的性质：①0≤P(B

6、A)≤1；②必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为0；③如果B和C是两个互斥事件，则

7、P(B∪C

8、A)＝P(B

9、A)＋P(C

10、A)．(3)事件的相互独立性：设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立．(4)独立重复试验：一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．(5)二项分布：一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.此时称随机变量X服从二项

11、分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．两点分布是当n＝1时的二项分布，二项分布可以看成是两点分布的一般形式．3．离散型随机变量的均值与方差(1)均值、方差：一般地，若离散型随机变量X的分布列为8Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．称D(X)＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，为随机变量X的标准差．(2)均值与方差的性质：若Y＝aX＋b，其中a，b是常数，X是随机变量，则Y

12、也是随机变量，且E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)．(3)常见分布的均值和方差公式：①两点分布：若随机变量X服从参数为p的两点分布，则均值E(X)＝p，方差D(X)＝p(1－p)．②二项分布：若随机变量X～B(n，p)，则均值E(X)＝np，方差D(X)＝np(1－p)．4．正态分布(1)正态曲线与正态分布：①正态曲线：我们把函数φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)(其中μ是样本均值，σ是样本标准差)的图象称为正态分布密度曲线，简称正态曲线，正态曲线呈钟形，即中间高，两边低．②正态分布：一般地

13、，如果对于任何实数a，b(a＜b)，随机变量X满足P(a＜X≤b)＝φμ，σ(x)dx，则称随机变量X服从正态分布．正态分布完全由参数μ，σ确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2)．(2)正态曲线的特点：①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；③曲线在x＝μ处达到峰值；④曲线与x轴之间的面积为1.(3)μ和σ对正态曲线的影响：①当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；②当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表

14、示总体的分布越分散．8(4)正态分布的3σ原则：若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.9974.在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值