高中数学第二章随机变量及其分布2.3.2离散型随机变量的方差学案新人教a版选修2_32

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1、2．3.2　离散型随机变量的方差[学习目标]1．理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念．2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．3．掌握方差的性质，以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差．[知识链接]1．某省运会即将举行，在最后一次射击选拔比赛中，甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下：甲运动员：7，8，6，8，6，5，8，10，7，5；乙运动员：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.观察上述数据，两个人射击的平均成绩是一样的．那么，是否两个人就没有水平差距呢？如果你是教练，选哪位选手去参加正式比赛？答　甲＝乙＝7，利用样本的方差

2、公式s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，求得：s＝2.2，s＝1.2.s>s，∴乙成绩较稳定，选乙参加比赛．2．随机变量的方差与样本的方差有何不同？答　样本的方差是随着样本的不同而变化的，因此它是一个随机变量，而随机变量的方差是通过大量试验得出的，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，因此它是一个常量而非变量．[预习导引]1．离散型随机变量的方差、标准差设离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn12则(xi－E(X))2描述了xi(i＝1，2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度，而D(X)＝(xi－E(X))2pi为这些偏离

3、程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度．我们称D(X)为随机变量X的方差，并称其算术平方根为随机变量X的标准差．2．离散型随机变量方差的性质(1)设a，b为常数，则D(aX＋b)＝a2D(X)；(2)D(c)＝0(其中c为常数)．3．服从两点分布与二项分布的随机变量的方差(1)若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)(其中p为成功概率)；(2)若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)．要点一　求离散型随机变量的方差例1　甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮；已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为，.(1)求第三

4、次由乙投篮的概率；(2)在前3次投篮中，乙投篮的次数为ξ，求ξ的分布列、期望及标准差．解　(1)P＝×＋×＝.(2)P(ξ＝0)＝×＝；P(ξ＝1)＝×＋×＝.P(ξ＝2)＝×＝.故ξ的分布列为ξ012PE(ξ)＝0×＋1×＋2×＝，D(ξ)＝(0－)2×＋(1－)2×＋(2－)2×＝，∴＝.规律方法　1.求离散型随机变量X的方差的基本步骤：12　↓　↓　↓　↓利用公式D(X)＝(xi－E(X))2pi求值2．对于变量间存在关系的方差，在求解过程中应注意方差性质的应用，如D(aξ＋b)＝a2D(ξ)，这样处理既避免了求随机变量η＝aξ＋b的分布列，又避免了繁杂的计算，简化了计算过程．跟

5、踪演练1　已知X的分布列为X－101P求：(1)E(X)，D(X)；(2)设Y＝2X＋3，求E(Y)，D(Y)．解　(1)E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－，D(X)＝(－1＋)2×＋(0＋)2×＋(1＋)2×＝.(2)E(Y)＝2E(X)＋3＝，D(Y)＝4D(X)＝.要点二　两点分布与二项分布的方差例2　为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n株沙柳．各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为p，设ξ为成活沙柳的株数，数学期望E(ξ)为3，标准差为.(1)求n和p的值，并写出ξ的分布列；(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种．求需要补种沙

6、柳的概率．解　由题意知，ξ服从二项分布B(n，p)，12P(ξ＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，…，n.(1)由E(ξ)＝np＝3，D(ξ)＝np(1－p)＝，得1－p＝，从而n＝6，p＝.ξ的分布列为ξ0123456P(2)记“需要补种沙柳”为事件A，则P(A)＝P(ξ≤3)，得P(A)＝＝，或P(A)＝1－P(ξ＞3)＝1－＝.所以需要补种沙柳的概率为.规律方法　方差的性质：D(aξ＋b)＝a2D(ξ)．若ξ服从两点分布，则D(ξ)＝p(1－p)．若ξ～B(n，p)，则D(ξ)＝np(1－p)．跟踪演练2　设一次试验的成功率为p，进行100次独立重复试验，求当p为何值时，

7、成功次数的标准差的值最大？并求其最大值．解　设成功次数为随机变量X，由题意可知X～B(100，p)，则＝.因为D(X)＝100p(1－p)＝100p－100p2，把上式看作一个以p为自变量的二次函数，易知当p＝时，D(X)有最大值为25.所以的最大值为5.即当p＝时，成功次数的标准差的值最大，最大值为5.要点三　均值与方差的综合应用例3　袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1，2，3，4)．现从袋中任取一球．