高中数学第二章随机变量及其分布2.3.1离散型随机变量的均值学案新人教a版选修2_32

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1、2．3.1　离散型随机变量的均值[学习目标]1．通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值．2．理解离散型随机变量均值的性质．3．掌握两点分布、二项分布的均值．4．会利用离散型随机变量的均值，反映离散型随机变量取值水平，解决一些相关的实际问题．[知识链接]1．某商场要将单价分别为18元/kg、24元/kg、36元/kg的3种糖果按3∶2∶1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？答　由于平均在每1kg的混合糖果中，3种糖果的质量分别是kg、kg和kg，所以混合糖果的合理价格应该是18×＋24×＋36×＝23(元/kg)．这里的23元/kg就是混合糖果价

2、格的均值2．已知随机变量ξ的分布列为ξ01234P0.10.20.3x0.1则x＝________，P(1≤ξ<3)＝________.答　x＝1－(0.1＋0.2＋0.3＋0.1)＝0.3；P(1≤ξ<3)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝0.2＋0.3＝0.5.[预习导引]1．离散型随机变量的均值或数学期望若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，12它反映了离散型随机变量取值的平均水平．2．离散型随机变量的性质如果X为(离散型)随机变量，则Y＝aX＋b(其中a

3、，b为常数)也是(离散型)随机变量，且P(X＝xi)＝P(Y＝axi＋b)，i＝1，2，3，…，n.E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b．3．两点分布与二项分布的均值(1)如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝p(p为成功概率)．(2)如果随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np.要点一　利用定义求离散型随机变量的均值例1　袋中有4只红球，3只黑球，今从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得2分，取得一只黑球得1分，试求得分X的数学期望．解　取出4只球颜色及得分分布情况是4红得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分，因此，P(X＝5)＝＝，

4、P(X＝6)＝＝，P(X＝7)＝＝，P(X＝8)＝＝，故X的分布列如下：X5678P∴E(X)＝5×＋6×＋7×＋8×＝(分)．规律方法　求随机变量的期望关键是写出分布列，一般分为四步：(1)确定ξ的可能取值；(2)计算出P(ξ＝k)；(3)写出分布列；(4)利用E(ξ)的计算公式计算E(ξ)．跟踪演练1　在10件产品中，有3件一等品、4件二等品、3件三等品．从这10件产品中任取3件，求取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望．解　从10件产品中任取3件，共有C种结果．从10件产品中任取3件，其中恰有k12件一等品的结果数为CC，其中k＝0，1，2，3.∴P(X＝k)＝，k

5、＝0，1，2，3.所以随机变量X的分布列为X0123P∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.要点二　二项分布的均值例2　某广场上有4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红灯的概率都是，出现绿灯的概率都是.记这4盏灯中出现红灯的数量为ξ，当这4盏装饰灯闪烁一次时：(1)求ξ＝2时的概率；(2)求ξ的数学期望．解　(1)依题意知：ξ＝2表示4盏装饰灯闪烁一次时，恰好有2盏灯出现红灯，而每盏灯出现红灯的概率都是，故ξ＝2时的概率P＝C()2()2＝.(2)法一　ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4，依题意知：P(ξ＝k)＝C()k()4－k(k＝0，1，2，3，4)．

6、∴ξ的概率分布列为ξ01234P∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.法二　∵ξ服从二项分布，即ξ～B(4，)，∴E(ξ)＝4×＝.规律方法　将实际问题转化为独立重复试验的概率问题是解决二项分布问题的关键．二项分布满足的条件①每次试验中，事件发生的概率是相同的；②每次试验中的事件是相互独立的；③每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生；12④随机变量ξ是这n次独立重复试验中某事件发生的次数．跟踪演练2　某运动员投篮命中率为p＝0.6.(1)求投篮1次时命中次数X的数学期望；(2)求重复5次投篮时，命中次数Y的数学期望．解　(1)投篮1次，命中次数X的分布列如下表：X0

7、1P0.40.6则E(X)＝p＝0.6.(2)由题意，重复5次投篮，命中的次数Y服从二项分布，即Y～B(5，0.6)．则E(Y)＝np＝5×0.6＝3.要点三　离散型随机变量均值的应用例3　某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为ξ12345P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．(1)求事件A：“购买该商品的3