高中数学第二章2.1.1椭圆及其标准方程学业分层测评新人教b版

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1、2.1.1椭圆及其标准方程(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．椭圆＋＝1的焦点坐标是(　　)A．(±4,0)　　　　　　B．(0，±4)C．(±3,0)D．(0，±3)【解析】　根据椭圆的标准方程可知，椭圆的焦点在y轴上，所以对应的焦点坐标为(0，±3)，故选D.【答案】　D2．如果方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是(　　)A．a>3B．a<－2C．a>3或a<－2D．a>3或－6a＋6>0，得所以所以a>3或－6

2、.＋y2＝1D.＋y2＝1或x2＋＝1【解析】　a＝，c＝2，∴b2＝()2－(2)2＝1，a2＝13，而由于焦点不确定，∴D正确．【答案】　D4．已知圆x2＋y2＝1，从这个圆上任意一点P向y轴作垂线，垂足为P′，则PP′的中点M的轨迹方程是(　　)6A．4x2＋y2＝1B．x2＋＝1C.＋y2＝1D．x2＋＝1【解析】　设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则x＝，y＝y0.∵P(x0，y0)在圆x2＋y2＝1上，∴x＋y＝1.①将x0＝2x，y0＝y代入方程①，得4x2＋y2＝1.故选A.【答案】　A5．椭圆＋＝1上的一点M到左焦点F1的距离为2，N是M

3、F1的中点，则

4、ON

5、等于(　　)【导学号：25650044】A．2　　　B．4C．8　　　　D.【解析】　如图，F2为椭圆的右焦点，连接MF2，则ON是△F1MF2的中位线，∴

6、ON

7、＝

8、MF2

9、，又

10、MF1

11、＝2，

12、MF1

13、＋

14、MF2

15、＝2a＝10，∴

16、MF2

17、＝8，∴

18、ON

19、＝4.【答案】　B二、填空题6．椭圆＋＝1的焦距是2，则m的值是________．【解析】　当椭圆的焦点在x轴上时，a2＝m，b2＝4，c2＝m－4，又2c＝2，∴c＝1.∴m－4＝1，m＝5.当椭圆的焦点在y轴上时，a2＝4，b2＝m，∴c2＝4－m＝1，∴m＝3.6【答案】　3或57．已知椭圆C

20、经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点，则椭圆C的标准方程为________．【解析】　法一：依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，且可知左焦点为F′(－2,0)．从而有解得又a2＝b2＋c2，所以b2＝12，故椭圆C的标准方程为＋＝1.法二：依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，则解得b2＝12或b2＝－3(舍去)，从而a2＝16，所以椭圆C的标准方程为＋＝1.【答案】　＋＝18．椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上．若

21、PF1

22、＝4，则

23、PF2

24、＝________，∠F1PF2的大小为________．【解析】　由

25、PF1

26、＋

27、PF2

28、＝

29、6，且

30、PF1

31、＝4，知

32、PF2

33、＝2.在△PF1F2中，cos∠F1PF2＝＝－.∴∠F1PF2＝120°.【答案】　2　120°三、解答题9．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)椭圆上一点P(3,2)到两焦点的距离之和为8；(2)椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9或15.【解】　(1)①若焦点在x轴上，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．由题意知2a＝8，∴a＝4，又点P(3,2)在椭圆上，∴＋＝1，得b2＝.∴椭圆的标准方程为＋＝1.②若焦点在y轴上，设椭圆标准方程为6＋＝1(a>b>0)．∵2a＝8，∴a＝4，又点P(3,2)在椭

34、圆上，∴＋＝1，得b2＝12.∴椭圆的标准方程为＋＝1.由①②知椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.(2)由题意知，2c＝16,2a＝9＋15＝24，∴a＝12，c＝8，b2＝80.又焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，∴所求方程为＋＝1或＋＝1.10．已知B，C是两个定点，

35、BC

36、＝8，且△ABC的周长为18，求这个三角形顶点A的轨迹方程.【导学号：25650045】【解】　以过B，C两点的直线为x轴，线段BC的中点为原点，建立平面直角坐标系．由

37、BC

38、＝8，可知点B(－4,0)，C(4,0)．由

39、AB

40、＋

41、BC

42、＋

43、AC

44、＝18，得

45、AB

46、＋

47、AC

48、＝10＞

49、BC

50、＝8.因此，

51、点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两个焦点的距离之和为2a＝10，即a＝5，且点A不能在x轴上．由a＝5，c＝4，得b2＝9.所以点A的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．[能力提升]1．已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且

52、F1F2

53、＝2，若

54、PF1

55、与

56、PF2

57、的等差中项为

58、F1F2

59、，则椭圆C的标准方程为(　　)A.＋＝1B.＋＝1或＋＝1C.＋＝16D.＋＝1或＋＝1【解析】　由已知2c＝

60、F1F2

61、＝2，∴c＝.∵2a＝

62、PF1

63、＋

64、PF2

65、＝2

66、F1F2

67、＝4，∴a＝2，