高中数学第三章导数及其应用3.3.2利用导数研究函数的极值学业分层测评新人教b版

《高中数学第三章导数及其应用3.3.2利用导数研究函数的极值学业分层测评新人教b版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、3.3.2利用导数研究函数的极值(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列是函数f(x)在[a，b]上的图象，则f(x)在(a，b)上无最大值的是(　　)【解析】　在开区间(a，b)上，只有D选项中的函数f(x)无最大值．【答案】　D2．函数f(x)＝2＋，x∈(0,5]的最小值为(　　)A．2　　　　　　　　　B．3C.D．2＋【解析】　由f′(x)＝－＝＝0，得x＝1，且x∈(0,1]时，f′(x)<0；x∈(1,5]时，f′(x)>0，∴x＝1时，f(x)最小，最小值为f(1)＝3.【答案】　B3．函数f(x)＝ax3＋ax2＋x＋3有极值的充要条件是(　　)A．a

2、＞1或a≤0　　　　B．a＞1C．0＜a＜1D．a＞1或a＜0【解析】　f(x)有极值的充要条件是f′(x)＝ax2＋2ax＋1＝0有两个不相等的实根，即4a2－4a＞0，解得a＜0或a＞1.故选D.【答案】　D4．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为(　　)A．0≤a＜1B．0＜a＜1C．－1＜a＜1D．0＜a＜【解析】　∵f′(x)＝3x2－3a，令f′(x)＝0得x2＝a.∴x＝±.5又∵f(x)在(0,1)内有最小值，∴0＜＜1，∴0＜a＜1.故选B.【答案】　B5．已知函数f(x)＝ax3＋c，且f′(1)＝6，函数在[1,2]上的最大值

3、为20，则c的值为(　　)【导学号：25650131】A．1B．4C．－1D．0【解析】　∵f′(x)＝3ax2，∴f′(1)＝3a＝6，∴a＝2.当x∈[1,2]时，f′(x)＝6x2＞0，即f(x)在[1,2]上是增函数，∴f(x)max＝f(2)＝2×23＋c＝20，∴c＝4.【答案】　B二、填空题6．函数f(x)＝alnx＋bx2＋3x的极值点为x1＝1，x2＝2，则a＝________，b＝________.【解析】　f′(x)＝＋2bx＋3＝，∵函数的极值点为x1＝1，x2＝2，∴x1＝1，x2＝2是方程f′(x)＝＝0的两根，也即2bx2＋3x＋a＝0的两根．∴由根与

4、系数的关系知解得【答案】　－2　－7．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋c，其导数f′(x)的图象如图337所示，则函数的极小值是________．图337【解析】　由图象可知，当x<0时，f′(x)<0，当00，故x＝0时，函数f(x)取到极小值f(0)＝c.5【答案】　c8．设函数f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对任意的x∈(0,1]都有f(x)≥0成立，则实数a的取值范围为________．【解析】　∵x∈(0,1]，∴f(x)≥0可化为a≥－.设g(x)＝－，则g′(x)＝.令g′(x)＝0，得x＝.当00；当

5、，g′(x)<0.∴g(x)在(0,1]上有极大值g＝4，它也是最大值，故a≥4.【答案】　[4，＋∞)三、解答题9．已知函数f(x)＝＋lnx，求f(x)在上的最大值和最小值．【解】　f′(x)＝＋＝.由f′(x)＝0，得x＝1.∴在上，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x1(1,2)2f′(x)－0＋f(x)1－ln2单调递减极小值0单调递增－＋ln2∵f－f(2)＝－2ln2＝(lne3－ln16)，而e3＞16，∴f＞f(2)＞0.5∴f(x)在上的最大值为f＝1－ln2，最小值为0.10．已知函数f(x)＝(x＋1)lnx－x＋1.若xf′(x)≤x2

6、＋ax＋1恒成立，求a的取值范围.【导学号：25650132】【解】　f′(x)＝＋lnx－1＝lnx＋，xf′(x)＝xlnx＋1，而xf′(x)≤x2＋ax＋1(x＞0)等价于lnx－x≤a.令g(x)＝lnx－x，则g′(x)＝－1.当0＜x＜1时，g′(x)＞0；当x≥1时，g′(x)≤0，x＝1是g(x)的最大值点，所以g(x)≤g(1)＝－1.综上可知，a的取值范围是[－1，＋∞)．[能力提升]1．设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是(　　)A．∀x∈R，f(x)≤f(x0)B．－x0是f(－x)的极小值点C．－x0是－

7、f(x)的极小值点D．－x0是－f(－x)的极小值点【解析】　不妨取函数为f(x)＝x3－3x，则f′(x)＝3(x－1)(x＋1)，易判断x0＝－1为f(x)的极大值点，但显然f(x0)不是最大值，故排除A；因为f(－x)＝－x3＋3x，f′(－x)＝－3(x＋1)(x－1)，易知－x0＝1为f(－x)的极大值点，故排除B；又－f(x)＝－x3＋3x，[－f(x)]′＝－3(x＋1)(x－1)，易知－x0＝1为－f(x)的极大值点，故排除C；∵－f(－x)的图象与f