几何概型 讲义

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1、几何概型的常见题型几何概型是高中新课改后增加的一种概率类型，也是高考的一个新增热点，但由于试题设计的背景不同，试题所呈现的方式也不同，此试卷通过对几何概型试题的归纳整理，以便更好地理解和掌握此类问题.一．几何概型的定义1．定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型.2．特点：（1）无限性，即一次试验中，所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；（2）等可能性，即每个基本事件发生的可能性均相等.3．计算公式：说明：用几何概率公式计算概率时，关键是构造出随机

2、事件所对应的几何图形，并对几何图形进行度量.4．古典概型和几何概型的区别和联系：（1）联系：每个基本事件发生的都是等可能的.（2）区别：①古典概型的基本事件是有限的，几何概型的基本事件是无限的；②两种概型的概率计算公式的含义不同.二．常见题型1．与长度有关的几何概型例1．(2009山东卷·文理)在区间上随机取一个数，的值介于到之间的概率为().A.B.C.D.分析：在区间上随机取任何一个数都是一个基本事件.所取的数是区间的任意一个数，基本事件是无限多个，而且每一个基本事件的发生都是等可能的，因此事件的发生的概率只与自变量的取值范围

3、的区间长度有关，符合几何概型的条件.解：在区间上随机取一个数,即时,要使的值介于0到之间,需使或10∴或，区间长度为，由几何概型知使的值介于0到之间的概率为.故选A.练1.取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率是.A.B.C.D.不确定3.两根相距6m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2m的概率是________.2.在等腰Rt△ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM的长小于AC的长的概率.4.平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r

4、个平面上，硬币不与任一条平行线相碰的概率.5.在半径为1的圆周上，有一定点A，以A为端点任连一弦，另一端点在圆周上等可能的选取，求弦长超过√3的概率。7.如图，，，，在线段上任取一点，试求：(1)为钝角三角形的概率；(2)为锐角三角形的概率．102．与面积有关的几何概型例2．（2009辽宁卷·文）为长方形，，为的中点，在长方形内随机取一点，取到的点到的距离大于1的概率为（）A．B.C.D.分析：由于是随机的取点，点落在长方形内每一个点的机会是等可能的，基本事件是无限多个，所以符合几何概型.解：长方形面积为2,以为圆心,1为半径作圆

5、,在矩形内部的部分(半圆)面积为因此取到的点到的距离大于1的面积为，则取到的点到的距离大于1的概率为.故选B.3.在1万km2的海域中有40km2的大陆架贮藏着石油，假如在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是.A.B.C.D.1.如下图，在一个边长为3cm的正方形内部画一个边长为2cm的正方形，向大正方形内随机投点，则所投的点落入小正方形内的概率是________.102.如下图，在一个边长为a、b（a＞b＞0）的矩形内画一个梯形，梯形上、下底分别为a与a，高为b，向该矩形内随机投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为______

6、__.5.如下图，在半径为1的半圆内，放置一个边长为的正方形ABCD，向半圆内任投一点，该点落在正方形内的概率为_________.3.一海豚在水池中自由游弋，水池为长30m，宽20m的长方形，求海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率.在一个打上方格的纸上头一枚直径为2的硬币，方格变长要多少才能使硬币与方格的边不相交的概率小于4%？103．与角度有关的几何概型例3．在圆心角为90°的扇形中，以圆心为起点做射线，求使得和都不小于30°的概率？分析：此题关键是搞清过作射线可以在扇形的任意位置，而且是等可能的，因此基本事件的发生是等可能的.解：

7、记事件是“做射线，使得和都不小于30°”，，则符合条件的射线应落在扇形中，所以如下图，在直角坐标系内，射线OT落在60°的终边上，任作一条射线OA，则射线落在∠xOT内的概率是________.4．与体积有关的几何概型例4．在5升水中有一个病毒，现从中随机地取出1升水，含有病毒的概率是多大？分析：病毒在这5升水中的分布可以看作是随机的，取得的1升水可以看作构成事件的区域，5升水可以看作是试验的所有结果构成的区域，因此可以用体积比公式计算其概率.解：“取出1升水，其中含有病毒”这一事件记作事件A，则从而所求的概率为0.2.1.在1L

8、高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10mL，含有麦锈病种子的概率是多少？3.在区间[0,l]上任取三个实数x.y.z,事件A={(x,y,z)

9、x2+y2+z2＜1,x≥0,y≥0,z≥0}105．与线性规划有关的几何概型例5．小